aを実数、bを整数とする。 方程式 $3x - 2 = 2a - 3$ (1) 不等式 $|2x - b| \le 1$ (2) について、以下の問いに答える。 (1) 方程式(1)の解を求める。 (2) $b = 3$のとき、不等式(2)の解を求める。さらに、(1)の解が(2)を満たすような$a$の値の範囲を求める。 (3) (1)の解が整数となり、かつ(2)を満たすとする。このとき、$a$と$b$の関係を、$b$が偶数のとき、奇数のときそれぞれ求める。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

aを実数、bを整数とする。

方程式 $3x - 2 = 2a - 3$ (1)

不等式 $|2x - b| \le 1$ (2)

について、以下の問いに答える。

(1) 方程式(1)の解を求める。

(2) $b = 3$のとき、不等式(2)の解を求める。さらに、(1)の解が(2)を満たすような$a$の値の範囲を求める。

(3) (1)の解が整数となり、かつ(2)を満たすとする。このとき、$a$と$b$の関係を、$b$が偶数のとき、奇数のときそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1) 方程式(1)を$x$について解く。

$3x - 2 = 2a - 3$

$3x = 2a - 3 + 2$

$3x = 2a - 1$

$x = \frac{2a - 1}{3}$

(2) $b = 3$のとき、不等式(2)は

$|2x - 3| \le 1$

$-1 \le 2x - 3 \le 1$

$2 \le 2x \le 4$

$1 \le x \le 2$

(1)の解$x = \frac{2a - 1}{3}$が$1 \le x \le 2$を満たすとき

$1 \le \frac{2a - 1}{3} \le 2$

$3 \le 2a - 1 \le 6$

$4 \le 2a \le 7$

$2 \le a \le \frac{7}{2}$

$2 \le a \le 3.5$

(3) (1)の解$x = \frac{2a - 1}{3}$が整数となるとき、$2a - 1$は3の倍数である。

$2a - 1 = 3k$ ($k$は整数)

$2a = 3k + 1$

$a = \frac{3k + 1}{2}$

不等式(2)を変形すると

$|2x - b| \le 1$

$-1 \le 2x - b \le 1$

$b - 1 \le 2x \le b + 1$

$\frac{b - 1}{2} \le x \le \frac{b + 1}{2}$

$x = \frac{2a - 1}{3}$を代入すると

$\frac{b - 1}{2} \le \frac{2a - 1}{3} \le \frac{b + 1}{2}$

$\frac{b - 1}{2} \le \frac{3k}{3} \le \frac{b + 1}{2}$

$\frac{b - 1}{2} \le k \le \frac{b + 1}{2}$

$k$は整数なので、$k$の値は $\frac{b - 1}{2}$以上$\frac{b + 1}{2}$以下の整数。

$b$が偶数のとき、$b = 2n$ ($n$は整数)とすると

$\frac{2n - 1}{2} \le k \le \frac{2n + 1}{2}$

$n - \frac{1}{2} \le k \le n + \frac{1}{2}$

$k = n$

$a = \frac{3n + 1}{2} = \frac{3(b/2) + 1}{2} = \frac{3b}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3b+2}{4}$

$b$が奇数のとき、$b = 2n + 1$ ($n$は整数)とすると

$\frac{2n}{2} \le k \le \frac{2n + 2}{2}$

$n \le k \le n + 1$

$k = n$または$k = n + 1$

$a = \frac{3n + 1}{2} = \frac{3(\frac{b-1}{2}) + 1}{2} = \frac{3b - 3 + 2}{4} = \frac{3b - 1}{4}$

または

$a = \frac{3(n+1) + 1}{2} = \frac{3(\frac{b-1}{2}+1) + 1}{2} = \frac{3b-3+6+2}{4} = \frac{3b+5}{4}$

$a = \frac{3b-1}{4}$ または $a = \frac{3b+5}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{2a - 1}{3}$

(2) $1 \le x \le 2$, $2 \le a \le \frac{7}{2}$

(3) $b$が偶数のとき、$a = \frac{3b+2}{4}$

　 $b$が奇数のとき、$a = \frac{3b-1}{4}$ または $a = \frac{3b+5}{4}$