以下の4つの命題において、それぞれ条件が十分条件、必要条件、必要十分条件、いずれでもないかを判断する問題です。 (1) $x < 1$ は $x \leq 1$ であるための \_\_\_ (2) $x < y$ は $x^4 < y^4$ であるための \_\_\_ (3) $xy + 1 = x + y$ は、$x, y$ のうち少なくとも1つは1であるための \_\_\_ (4) $\angle A < 90^\circ$ は $\triangle ABC$ が鋭角三角形であるための \_\_\_

1. 問題の内容

以下の4つの命題において、それぞれ条件が十分条件、必要条件、必要十分条件、いずれでもないかを判断する問題です。

(1) $x < 1$ は $x \leq 1$ であるための \_\_\_

(2) $x < y$ は $x^4 < y^4$ であるための \_\_\_

(3) $xy + 1 = x + y$ は、$x, y$ のうち少なくとも1つは1であるための \_\_\_

(4) $\angle A < 90^\circ$ は $\triangle ABC$ が鋭角三角形であるための \_\_\_

2. 解き方の手順

(1) $x < 1$ ならば $x \leq 1$ は常に成り立ちます。つまり、$x < 1$ は $x \leq 1$ であるための十分条件です。

しかし、$x \leq 1$ でも、$x = 1$ ならば $x < 1$ は成り立ちません。したがって、$x < 1$ は $x \leq 1$ であるための必要条件ではありません。

よって、答えは③です。

(2) $x < y$ ならば $x^4 < y^4$ とは限りません。例えば、$x = -2, y = -1$ のとき、$x < y$ ですが、$x^4 = 16, y^4 = 1$ となり、$x^4 > y^4$ です。したがって、$x < y$ は $x^4 < y^4$ であるための十分条件ではありません。

また、$x^4 < y^4$ ならば $x < y$ とも限りません。例えば、$x = -1, y = 2$ のとき、$x^4 = 1 < y^4 = 16$ ですが、$x < y$ が成り立ちます。しかし、$x=-2, y=1$のとき、$x^4 = 16 > y^4 = 1$であり$x<y$も成り立ちません。

したがって、$x < y$ は $x^4 < y^4$ であるための必要条件でもありません。

よって、答えは④です。

(3) $xy + 1 = x + y$ を変形すると、

$xy - x - y + 1 = 0$

$x(y - 1) - (y - 1) = 0$

$(x - 1)(y - 1) = 0$

したがって、$x = 1$ または $y = 1$ です。

つまり、$xy + 1 = x + y$ ならば $x, y$ のうち少なくとも1つは1です。

逆に、$x, y$ のうち少なくとも1つは1ならば、$xy + 1 = x + y$ が成り立ちます。

したがって、$xy + 1 = x + y$ は、$x, y$ のうち少なくとも1つは1であるための必要十分条件です。

よって、答えは①です。

(4) $\angle A < 90^\circ$ は $\triangle ABC$ が鋭角三角形であるための必要条件ですが、十分条件ではありません。

$\triangle ABC$ が鋭角三角形であるためには、すべての角が $90^\circ$ 未満である必要があります。つまり、$\angle A < 90^\circ$ かつ $\angle B < 90^\circ$ かつ $\angle C < 90^\circ$ が必要です。$\angle A < 90^\circ$ だけでは、他の角が $90^\circ$ 以上である可能性があり、$\triangle ABC$ が鋭角三角形であるとは限りません。

したがって、答えは②です。

3. 最終的な答え

(1) ③

(2) ④

(3) ①

(4) ②