放物線を描いて放水される水の軌道について考える問題です。与えられた条件から、放物線の方程式を決定し、その頂点の座標を求めます。さらに、放水者の位置が変化した場合に、放物線がどのように変化するかを考察します。具体的には以下の問いに答えます。 (1) 「水が最も高くなるときの地上の位置」が1であるとき、 (i) $C_0$の方程式を求め、その頂点のy座標を求めます。 (ii) 放水者がx軸上を動いたとき、$C_0$をx軸方向に平行移動した放物線を$C'_0$とします。放物線の対称性から、$C'_0$が点$F_0$を通るのは、放水者がどれだけ移動したときか求めます。

1. 問題の内容

放物線を描いて放水される水の軌道について考える問題です。与えられた条件から、放物線の方程式を決定し、その頂点の座標を求めます。さらに、放水者の位置が変化した場合に、放物線がどのように変化するかを考察します。具体的には以下の問いに答えます。

(1) 「水が最も高くなるときの地上の位置」が1であるとき、

(i) $C_0$の方程式を求め、その頂点のy座標を求めます。

(ii) 放水者がx軸上を動いたとき、$C_0$をx軸方向に平行移動した放物線を$C'_0$とします。放物線の対称性から、$C'_0$が点$F_0$を通るのは、放水者がどれだけ移動したときか求めます。

2. 解き方の手順

(1) (i) $C_0$の方程式は$y = a(x-1)^2 + b$と表せる。$C_0$が2点$P_0(5,1)$と$F_0(0,8)$を通ることから、$a$と$b$の値を求めます。

$P_0(5,1)$を通ることから、$1 = a(5-1)^2 + b$より $1 = 16a + b$。

$F_0(0,8)$を通ることから、$8 = a(0-1)^2 + b$より $8 = a + b$。

この2つの式から、$a$と$b$を求めます。

$1 = 16a + b$

$8 = a + b$

上の式から下の式を引くと、 $-7 = 15a$ より、$a = -\frac{7}{15}$。

$b = 8 - a = 8 + \frac{7}{15} = \frac{120+7}{15} = \frac{127}{15}$。

よって、$y = -\frac{7}{15}(x-1)^2 + \frac{127}{15}$。

このとき、「水の高さ」は$b = \frac{127}{15}$です。

(1) (ii) 放物線$C_0$の軸は$x = 1$です。放物線$C'_0$が点$F_0(0,8)$を通るとき、放物線の対称性から、$x = 2$の位置にある点も$C'_0$上にあります。

放物線$C'_0$が点$F_0(0,8)$を通るとき、軸は$x=0$と$x=2$の中間である$x=1$です。

放物線$C_0$の軸は$x=1$なので、$C_0$の軸と$C'_0$の軸は同じです。

放水者が$x$軸上を動くとき、$C_0$は$x$軸方向に平行移動するので、$C'_0$が$F_0(0,8)$を通るということは、放水者が原点から離れた位置で放水していることを意味します。$C'_0$が$F_0(0,8)$を通るのは、放水者が$x = 2$の位置にいるときです。よって、放水者は$5-2=3$だけ建物に近づいた場合です。

3. 最終的な答え

ア: 7

イウ: 15

エオカ: 127

キク: 15

ケ: 3

コ: 0