1の3乗根のうち虚数であるものを$\omega$とする。以下の式の値をそれぞれ求める。 (1) $\omega^6 + \omega^3 + 1$ (2) $\omega^8 + \omega^4 + 1$ (3) $\omega^{200} + \omega^{100}$

1. 問題の内容

1の3乗根のうち虚数であるものを$\omega$とする。以下の式の値をそれぞれ求める。

(1) $\omega^6 + \omega^3 + 1$

(2) $\omega^8 + \omega^4 + 1$

(3) $\omega^{200} + \omega^{100}$

2. 解き方の手順

$\omega$は1の3乗根なので、$\omega^3 = 1$が成り立つ。また、$\omega^3 - 1 = 0$より、$(\omega - 1)(\omega^2 + \omega + 1) = 0$であり、$\omega$は虚数なので$\omega \neq 1$である。したがって、$\omega^2 + \omega + 1 = 0$が成り立つ。

(1)

$\omega^6 + \omega^3 + 1 = (\omega^3)^2 + \omega^3 + 1 = 1^2 + 1 + 1 = 3$

(2)

$\omega^8 + \omega^4 + 1 = \omega^6 \cdot \omega^2 + \omega^3 \cdot \omega + 1 = (\omega^3)^2 \cdot \omega^2 + \omega^3 \cdot \omega + 1 = \omega^2 + \omega + 1 = 0$

(3)

$\omega^{200} + \omega^{100}$について、

$200 = 3 \times 66 + 2$, $100 = 3 \times 33 + 1$より、

$\omega^{200} = \omega^{3 \times 66 + 2} = (\omega^3)^{66} \cdot \omega^2 = 1^{66} \cdot \omega^2 = \omega^2$

$\omega^{100} = \omega^{3 \times 33 + 1} = (\omega^3)^{33} \cdot \omega = 1^{33} \cdot \omega = \omega$

よって、$\omega^{200} + \omega^{100} = \omega^2 + \omega = -1$ ($\omega^2 + \omega + 1 = 0$より)

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) 0

(3) -1