$\triangle OAB$ があり、$OA=3$, $OB=4$, $\angle AOB = 60^\circ$ である。辺$AB$の中点を$M$, 辺$OA$を$2:1$に内分する点を$N$, 線分$BN$を$s:(1-s)$ ($0<s<1$)に内分する点を$P$とする。$\vec{OA}=\vec{a}$, $\vec{OB}=\vec{b}$とする。 (1) $\vec{OM}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$を用いて表せ。また、内積$\vec{a} \cdot \vec{b}$の値を求めよ。 (2) $\vec{OP}$を$s$, $\vec{a}$, $\vec{b}$を用いて表せ。また、点$P$が線分$BN$と線分$OM$の交点であるとき、$s$の値を求めよ。さらに、$\vec{OP}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$を用いて表せ。 (3) (2)のとき、線分$BP$を直径とする円と辺$AB$との交点のうち、$B$でない方の点を$Q$とする。このとき、$\frac{AQ}{QB}$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ があり、$OA=3$, $OB=4$, $\angle AOB = 60^\circ$ である。辺$AB$の中点を$M$, 辺$OA$を$2:1$に内分する点を$N$, 線分$BN$を$s:(1-s)$ ($0<s<1$)に内分する点を$P$とする。$\vec{OA}=\vec{a}$, $\vec{OB}=\vec{b}$とする。

(1) $\vec{OM}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$を用いて表せ。また、内積$\vec{a} \cdot \vec{b}$の値を求めよ。

(2) $\vec{OP}$を$s$, $\vec{a}$, $\vec{b}$を用いて表せ。また、点$P$が線分$BN$と線分$OM$の交点であるとき、$s$の値を求めよ。さらに、$\vec{OP}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$を用いて表せ。

(3) (2)のとき、線分$BP$を直径とする円と辺$AB$との交点のうち、$B$でない方の点を$Q$とする。このとき、$\frac{AQ}{QB}$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{OM}$は$AB$の中点なので、

$\vec{OM} = \frac{\vec{OA}+\vec{OB}}{2} = \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$

内積$\vec{a} \cdot \vec{b}$は、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos 60^\circ = 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 6$

(2) $\vec{ON} = \frac{2}{3}\vec{a}$であり、$P$は線分$BN$を$s:(1-s)$に内分するので、

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OB} + s\vec{ON} = (1-s)\vec{b} + s\frac{2}{3}\vec{a} = \frac{2s}{3}\vec{a} + (1-s)\vec{b}$

また、$P$は線分$OM$上の点なので、実数$k$を用いて

$\vec{OP} = k\vec{OM} = k\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2} = \frac{k}{2}\vec{a} + \frac{k}{2}\vec{b}$

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、係数を比較して

$\frac{2s}{3} = \frac{k}{2}$, $1-s = \frac{k}{2}$

したがって、$\frac{2s}{3} = 1-s$より、$2s = 3 - 3s$, $5s = 3$, $s = \frac{3}{5}$

このとき、$\frac{k}{2} = 1-\frac{3}{5} = \frac{2}{5}$より、$k = \frac{4}{5}$

したがって、$\vec{OP} = \frac{4}{5}\vec{OM} = \frac{4}{5}(\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}) = \frac{2}{5}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b}$

(3) $BP$を直径とする円と$AB$との交点を$Q$とすると、$\angle BQP = 90^{\circ}$より、$BQ \perp QP$である。$Q$は$AB$上にあるので、$\vec{AQ}=t\vec{AB}$となる実数$t$が存在する。

$\vec{AQ} = t\vec{AB} = t(\vec{b}-\vec{a})$

$\vec{OQ} = \vec{OA} + \vec{AQ} = \vec{a} + t(\vec{b}-\vec{a}) = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$

$\vec{BQ} = \vec{OQ} - \vec{OB} = (1-t)\vec{a} + (t-1)\vec{b} = (1-t)(\vec{a}-\vec{b})$

$\vec{QP} = \vec{OP} - \vec{OQ} = (\frac{2}{5}\vec{a}+\frac{2}{5}\vec{b}) - ((1-t)\vec{a}+t\vec{b}) = (\frac{2}{5} - 1 + t)\vec{a} + (\frac{2}{5} - t)\vec{b} = (t - \frac{3}{5})\vec{a} + (\frac{2}{5} - t)\vec{b}$

$\vec{BQ} \cdot \vec{QP} = (1-t)(\vec{a}-\vec{b})\cdot ((t-\frac{3}{5})\vec{a}+(\frac{2}{5}-t)\vec{b}) = 0$

$(1-t)((t-\frac{3}{5})|\vec{a}|^2 + (\frac{2}{5}-t)\vec{a}\cdot\vec{b} - (t-\frac{3}{5})\vec{b}\cdot\vec{a} - (\frac{2}{5}-t)|\vec{b}|^2) = 0$

$(1-t)((t-\frac{3}{5})9 + (\frac{2}{5}-t)6 - (t-\frac{3}{5})6 - (\frac{2}{5}-t)16) = 0$

$(1-t)(9t-\frac{27}{5}+\frac{12}{5}-6t-6t+\frac{18}{5}-\frac{32}{5}+16t) = 0$

$(1-t)(13t-\frac{29}{5}) = 0$

$t \neq 1$より、$t = \frac{29}{65}$

$\vec{AQ} = t\vec{AB} = \frac{29}{65}\vec{AB}$, $\vec{QB} = (1-t)\vec{BA} = (1-\frac{29}{65})\vec{BA} = \frac{36}{65}\vec{BA}$

$AQ = \frac{29}{65}AB$, $QB = \frac{36}{65}AB$

$\frac{AQ}{QB} = \frac{29}{36}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OM} = \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$, $\vec{a}\cdot\vec{b} = 6$

(2) $s=\frac{3}{5}$, $\vec{OP} = \frac{2}{5}\vec{a}+\frac{2}{5}\vec{b}$

(3) $\frac{AQ}{QB} = \frac{29}{36}$