次の分数を小数で表したとき、指定された小数位の数字を求めます。 (1) $\frac{11}{101}$の小数第75位の数字 (2) $\frac{9}{41}$の小数第100位の数字

1. 問題の内容

次の分数を小数で表したとき、指定された小数位の数字を求めます。

(1) $\frac{11}{101}$の小数第75位の数字

(2) $\frac{9}{41}$の小数第100位の数字

2. 解き方の手順

(1) $\frac{11}{101}$の小数展開を求めます。

$\frac{11}{101} = 0.108910891089... = 0.\overline{1089}$

この小数展開は4桁の繰り返しであることに注意します。

小数第75位の数字を求めるために、$75 \div 4$を計算します。

$75 \div 4 = 18$ あまり $3$

したがって、小数第75位の数字は、繰り返し部分の3番目の数字です。

$0.\overline{1089}$ の3番目の数字は 8 です。

(2) $\frac{9}{41}$の小数展開を求めます。

$\frac{9}{41} = 0.\overline{21951219512...}$

循環節の長さは5です。

小数第100位の数字を求めるために、$100 \div 5$を計算します。

$100 \div 5 = 20$ あまり $0$

したがって、小数第100位の数字は、循環節の5番目の数字です。（余りが0の場合は、循環節の最後の数字になります）

$0.\overline{21951}$ の5番目の数字は 1 です。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{11}{101}$の小数第75位の数字は 8 です。

(2) $\frac{9}{41}$の小数第100位の数字は 1 です。