6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5を使って、同じ数字を2度以上使わないとして、以下の問題を解く。 (1) 6桁の整数は何個できるか。 (2) 6桁の整数で5の倍数は何個できるか。

1. 問題の内容

6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5を使って、同じ数字を2度以上使わないとして、以下の問題を解く。

(1) 6桁の整数は何個できるか。

(2) 6桁の整数で5の倍数は何個できるか。

2. 解き方の手順

(1) 6桁の整数を作る場合、千の位には0以外の数字(1, 2, 3, 4, 5)のいずれかを入れることができる。つまり、千の位の数字の選び方は5通りである。

次に、百の位は、千の位で使った数字以外の5つの数字から選ぶことができる。

十の位は残りの4つの数字から、一の位は残りの3つの数字から、それぞれ選ぶことができる。

したがって、6桁の整数の個数は、

$5 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 600$ 個である。

(2) 6桁の整数で5の倍数を作る場合、一の位が0または5の場合に分けて考える。

(i) 一の位が0の場合

一の位が0の場合、千の位には0以外の5つの数字(1, 2, 3, 4, 5)のいずれかを入れることができる。つまり、千の位の数字の選び方は5通りである。

次に、百の位は、千の位と一の位で使った数字以外の4つの数字から選ぶことができる。

十の位は残りの3つの数字から、一の位は残りの2つの数字から、それぞれ選ぶことができる。

したがって、一の位が0である6桁の整数の個数は、

$5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 個である。

(ii) 一の位が5の場合

一の位が5の場合、千の位には0と5以外の4つの数字(1, 2, 3, 4)のいずれかを入れることができる。つまり、千の位の数字の選び方は4通りである。

次に、百の位は、千の位と一の位で使った数字以外の4つの数字から選ぶことができる(この中に0が含まれている)。

十の位は残りの3つの数字から、一の位は残りの2つの数字から、それぞれ選ぶことができる。

したがって、一の位が5である6桁の整数の個数は、

$4 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 96$ 個である。

以上より、6桁の整数で5の倍数の個数は、 $120 + 96 = 216$ 個である。

3. 最終的な答え

(1) 6桁の整数: 600個

(2) 6桁の整数で5の倍数: 216個