5個の数字0, 1, 2, 3, 4を使ってできる3桁の整数のうち、同じ数字は2度以上使わないとする。 (1) 偶数は何個あるか。 (2) 3の倍数は何個あるか。

## 問題41

1. 問題の内容

5個の数字0, 1, 2, 3, 4を使ってできる3桁の整数のうち、同じ数字は2度以上使わないとする。

(1) 偶数は何個あるか。

(2) 3の倍数は何個あるか。

2. 解き方の手順

(1) 偶数

3桁の整数が偶数であるためには、一の位が偶数である必要がある。使用できる偶数は0, 2, 4の3つである。

* 一の位が0の場合：百の位は0以外なので4通り、十の位は百の位と一の位で使用した数字以外なので3通り。よって、$4 \times 3 = 12$通り。

* 一の位が2または4の場合：一の位は2通り。百の位は0と一の位で使用した数字以外なので3通り。十の位は百の位と一の位で使用した数字以外なので3通り。よって、$2 \times 3 \times 3 = 18$通り。

* 合計：$12 + 18 = 30$通り。

(2) 3の倍数

3桁の整数が3の倍数であるためには、各桁の数字の和が3の倍数である必要がある。使用できる数字は0, 1, 2, 3, 4である。

3つの数字の組み合わせで和が3の倍数になるものを探す。

* 和が3になる組み合わせ：(0, 1, 2)

* 和が6になる組み合わせ：(0, 2, 4), (1, 2, 3)

* 和が9になる組み合わせ：(2, 3, 4), (0, 3, 6) (0, 3, 6)は6がないので含まない. (1, 3, 5) (1, 3, 5)は5がないので含まない. (0, 4, 5) (0, 4, 5)は5がないので含まない。

* 和が12になる組み合わせ：(3, 4, 5)　(3, 4, 5)は5がないので含まない. (4, 4, 4) (4, 4, 4)は同じ数を使えないので含まない

これらの組み合わせで3桁の整数を作る。

* (0, 1, 2)の場合：百の位は0以外なので2通り、十の位は百の位と一の位で使用した数字以外なので2通り、一の位は残りの1通り。よって、$2 \times 2 \times 1 = 4$通り。並び方は$3! = 6$通りだが、0が先頭に来る場合を引く必要があるため、$6-2 = 4$で計算する。よって$4$通り。

* (0, 2, 4)の場合：百の位は0以外なので2通り、十の位は百の位と一の位で使用した数字以外なので2通り、一の位は残りの1通り。よって、$2 \times 2 \times 1 = 4$通り。

* (1, 2, 3)の場合：百の位は3通り、十の位は百の位で使用した数字以外なので2通り、一の位は残りの1通り。よって、$3 \times 2 \times 1 = 6$通り。

* (2, 3, 4)の場合：百の位は3通り、十の位は百の位で使用した数字以外なので2通り、一の位は残りの1通り。よって、$3 \times 2 \times 1 = 6$通り。

* 合計：$4 + 4 + 6 + 6 = 20$通り。

3. 最終的な答え

(1) 30個

(2) 20個