$x+y = 4$、$xy = -10$ のとき、以下の式の値を求めよ。 (1) $x^2 + y^2$ (2) $x^3y + xy^3$

1. 問題の内容

$x+y = 4$、$xy = -10$ のとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $x^2 + y^2$

(2) $x^3y + xy^3$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + y^2$ を求める。

$(x+y)^2$ を展開すると、

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

この式を変形すると、

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$

与えられた条件 $x+y = 4$、$xy = -10$ を代入すると、

$x^2 + y^2 = (4)^2 - 2(-10) = 16 + 20 = 36$

(2) $x^3y + xy^3$ を求める。

$x^3y + xy^3 = xy(x^2 + y^2)$

(1)で$x^2+y^2 = 36$であること、$xy = -10$を用いると、

$x^3y + xy^3 = (-10)(36) = -360$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 = 36$

(2) $x^3y + xy^3 = -360$