全体集合$U = \{x | 1 \le x \le 10, x は整数\}$、部分集合$A = \{1, 2, 5, 7, 8\}$、$B = \{2, 3, 8, 10\}$が与えられています。次の集合を求めなさい。 (1) $\overline{A} \cap B$ (2) $A \cap \overline{B}$ (3) $\overline{A \cap B}$ (4) $A \cup \overline{B}$ (5) $\overline{A} \cap \overline{B}$ (6) $\overline{A \cup B}$

はい、承知しました。問題を解きます。

1. 問題の内容

全体集合$U = \{x | 1 \le x \le 10, x は整数\}$、部分集合$A = \{1, 2, 5, 7, 8\}$、$B = \{2, 3, 8, 10\}$が与えられています。次の集合を求めなさい。

(1) $\overline{A} \cap B$

(2) $A \cap \overline{B}$

(3) $\overline{A \cap B}$

(4) $A \cup \overline{B}$

(5) $\overline{A} \cap \overline{B}$

(6) $\overline{A \cup B}$

2. 解き方の手順

まず、全体集合$U$と部分集合$A, B$を書き出します。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

$A = \{1, 2, 5, 7, 8\}$

$B = \{2, 3, 8, 10\}$

次に、$\overline{A}$と$\overline{B}$を求めます。

$\overline{A} = U - A = \{3, 4, 6, 9, 10\}$

$\overline{B} = U - B = \{1, 4, 5, 6, 7, 9\}$

(1) $\overline{A} \cap B$ は、$\overline{A}$と$B$の両方に含まれる要素の集合です。

$\overline{A} \cap B = \{3, 4, 6, 9, 10\} \cap \{2, 3, 8, 10\} = \{3, 10\}$

(2) $A \cap \overline{B}$ は、$A$と$\overline{B}$の両方に含まれる要素の集合です。

$A \cap \overline{B} = \{1, 2, 5, 7, 8\} \cap \{1, 4, 5, 6, 7, 9\} = \{1, 5, 7\}$

(3) $\overline{A \cap B}$ を求めるために、$A \cap B$を先に求めます。

$A \cap B = \{1, 2, 5, 7, 8\} \cap \{2, 3, 8, 10\} = \{2, 8\}$

$\overline{A \cap B} = U - (A \cap B) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} - \{2, 8\} = \{1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10\}$

(4) $A \cup \overline{B}$ は、$A$または$\overline{B}$に含まれる要素の集合です。

$A \cup \overline{B} = \{1, 2, 5, 7, 8\} \cup \{1, 4, 5, 6, 7, 9\} = \{1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

(5) $\overline{A} \cap \overline{B}$ は、$\overline{A}$と$\overline{B}$の両方に含まれる要素の集合です。

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{3, 4, 6, 9, 10\} \cap \{1, 4, 5, 6, 7, 9\} = \{4, 6, 9\}$

(6) $\overline{A \cup B}$ を求めるために、$A \cup B$を先に求めます。

$A \cup B = \{1, 2, 5, 7, 8\} \cup \{2, 3, 8, 10\} = \{1, 2, 3, 5, 7, 8, 10\}$

$\overline{A \cup B} = U - (A \cup B) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} - \{1, 2, 3, 5, 7, 8, 10\} = \{4, 6, 9\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} \cap B = \{3, 10\}$

(2) $A \cap \overline{B} = \{1, 5, 7\}$

(3) $\overline{A \cap B} = \{1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10\}$

(4) $A \cup \overline{B} = \{1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

(5) $\overline{A} \cap \overline{B} = \{4, 6, 9\}$

(6) $\overline{A \cup B} = \{4, 6, 9\}$