## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

次の3つの式の二重根号を外して簡単にせよ。

(1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$

(2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$

(3) $\sqrt{2-\sqrt{3}}$

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2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$

二重根号を外す公式 $\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ を利用する。

$7 = a+b$ かつ $10 = ab$ となる $a, b$ を探すと、$a=5, b=2$ となる。

よって、$\sqrt{7+2\sqrt{10}} = \sqrt{5+2+2\sqrt{5\cdot2}} = \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{5} + \sqrt{2}$

(2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$

まず、$6\sqrt{3}$ を $2\sqrt{...}$ の形にする。$6\sqrt{3} = 2\cdot3\sqrt{3} = 2\sqrt{9\cdot3} = 2\sqrt{27}$

よって、$\sqrt{12-6\sqrt{3}} = \sqrt{12-2\sqrt{27}}$

二重根号を外す公式 $\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}} = |\sqrt{a} - \sqrt{b}|$ を利用する。

$12 = a+b$ かつ $27 = ab$ となる $a, b$ を探すと、$a=9, b=3$ となる。

よって、$\sqrt{12-2\sqrt{27}} = \sqrt{9+3-2\sqrt{9\cdot3}} = \sqrt{(\sqrt{9}-\sqrt{3})^2} = |\sqrt{9}-\sqrt{3}| = |3-\sqrt{3}| = 3 - \sqrt{3}$

(3) $\sqrt{2-\sqrt{3}}$

このままでは二重根号を外す公式を適用できないので、$\sqrt{2}$ を掛けて割ることを考える。

$\sqrt{2-\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2(2-\sqrt{3})}{2}} = \frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$

二重根号を外す公式 $\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}} = |\sqrt{a} - \sqrt{b}|$ を利用する。

$4 = a+b$ かつ $3 = ab$ となる $a, b$ を探すと、$a=3, b=1$ となる。

よって、$\frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3+1-2\sqrt{3\cdot1}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{1})^2}}{\sqrt{2}} = \frac{|\sqrt{3}-1|}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$

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3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{5}+\sqrt{2}$

(2) $3-\sqrt{3}$

(3) $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$