TさんはM駅の近くにマイホームを建てようと考えており、AからHまでの8箇所の住宅地について、M駅からの距離X (単位: m) と地価Y (単位: 万円/m²) を調査した。このデータをもとに、以下の問いに答える。 (1) 散布図の作成 (2) 偏差平方和 $S_x$, $S_y$と偏差積和 $S_{xy}$ の計算 (3) 相関係数 $r_{xy}$ の計算 (4) 回帰分析 (y = a + bxを仮定) (5) 回帰直線のプロット (6) M駅からの距離が300mの住宅地Iの地価の推定 (7) M駅からの距離が500mの住宅地Jの地価の推定 (8) M駅からの距離が1000mの住宅地Kの地価の推定 (9) M駅からの距離が2000mの住宅地Lの地価の推定 (10) (6)~(9)で求めた地価の妥当性の検討と、より適切なモデルの提案

1. 問題の内容

TさんはM駅の近くにマイホームを建てようと考えており、AからHまでの8箇所の住宅地について、M駅からの距離X (単位: m) と地価Y (単位: 万円/m²) を調査した。このデータをもとに、以下の問いに答える。

(1) 散布図の作成

(2) 偏差平方和 $S_x$, $S_y$と偏差積和 $S_{xy}$ の計算

(3) 相関係数 $r_{xy}$ の計算

(4) 回帰分析 (y = a + bxを仮定)

(5) 回帰直線のプロット

(6) M駅からの距離が300mの住宅地Iの地価の推定

(7) M駅からの距離が500mの住宅地Jの地価の推定

(8) M駅からの距離が1000mの住宅地Kの地価の推定

(9) M駅からの距離が2000mの住宅地Lの地価の推定

(10) (6)~(9)で求めた地価の妥当性の検討と、より適切なモデルの提案

2. 解き方の手順

まず、与えられたデータを使って必要な統計量を計算する。

平均値:

$\bar{x} = \frac{200 + 440 + 140 + 350 + 320 + 170 + 400 + 240}{8} = \frac{2260}{8} = 282.5$

$\bar{y} = \frac{30 + 12 + 36 + 18 + 24 + 32 + 16 + 32}{8} = \frac{200}{8} = 25$

偏差平方和:

$S_x = \sum (x_i - \bar{x})^2 = (200-282.5)^2 + (440-282.5)^2 + (140-282.5)^2 + (350-282.5)^2 + (320-282.5)^2 + (170-282.5)^2 + (400-282.5)^2 + (240-282.5)^2 = 68062.5$

$S_y = \sum (y_i - \bar{y})^2 = (30-25)^2 + (12-25)^2 + (36-25)^2 + (18-25)^2 + (24-25)^2 + (32-25)^2 + (16-25)^2 + (32-25)^2 = 494$

偏差積和:

$S_{xy} = \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = (200-282.5)(30-25) + (440-282.5)(12-25) + (140-282.5)(36-25) + (350-282.5)(18-25) + (320-282.5)(24-25) + (170-282.5)(32-25) + (400-282.5)(16-25) + (240-282.5)(32-25) = -7465$

相関係数:

$r_{xy} = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_x S_y}} = \frac{-7465}{\sqrt{68062.5 \times 494}} = \frac{-7465}{\sqrt{33622875}} = \frac{-7465}{5798.52} \approx -1.287$

回帰分析:

$b = \frac{S_{xy}}{S_x} = \frac{-7465}{68062.5} \approx -0.1097$

$a = \bar{y} - b\bar{x} = 25 - (-0.1097) \times 282.5 = 25 + 30.99 \approx 55.99$

回帰直線:

$y = 55.99 - 0.1097x$

地価の推定:

(6) $x = 300$: $y = 55.99 - 0.1097 \times 300 \approx 23.08$

(7) $x = 500$: $y = 55.99 - 0.1097 \times 500 \approx 1.14$

(8) $x = 1000$: $y = 55.99 - 0.1097 \times 1000 \approx -53.71$

(9) $x = 2000$: $y = 55.99 - 0.1097 \times 2000 \approx -163.41$

(10)

(6)~(9)で求めた地価の推定は、特に(8)と(9)で地価が負の値になっているため、妥当ではない。これは、線形モデルをデータ範囲外に適用したためである。

より適切なモデルを作成するためには、

- 非線形モデル (例: 指数関数、対数関数) を検討する。地価はM駅からの距離が遠くなるほど減少率が小さくなることが予想される。

- データの範囲を広げて、より多くのデータ点を収集する。

- 距離だけでなく、他の要因 (例: 周辺環境、交通の便) も考慮した多変量回帰モデルを検討する。

3. 最終的な答え

(1) 散布図：省略（横軸：M駅からの距離X、縦軸：地価Yでプロット）

(2) $S_x = 68062.5$, $S_y = 494$, $S_{xy} = -7465$

(3) $r_{xy} \approx -1.287$

(4) $a \approx 55.99$, $b \approx -0.1097$

(5) $y = 55.99 - 0.1097x$ (散布図に描画)

(6) 23.08万円/m²

(7) 1.14万円/m²

(8) -53.71万円/m²

(9) -163.41万円/m²

(10) 妥当ではない。非線形モデルや多変量回帰モデルの検討、データ範囲の拡大などが考えられる。