与えられた等式 $x^3 - ax - 1 = (x+1)(x^2 + bx + c) + 1$ が $x$ についての恒等式であるとき、定数 $a$, $b$, $c$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた等式 $x^3 - ax - 1 = (x+1)(x^2 + bx + c) + 1$ が $x$ についての恒等式であるとき、定数 $a$, $b$, $c$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、右辺を展開します。

$(x+1)(x^2 + bx + c) + 1 = x^3 + bx^2 + cx + x^2 + bx + c + 1 = x^3 + (b+1)x^2 + (c+b)x + c + 1$

よって、与えられた等式は

$x^3 - ax - 1 = x^3 + (b+1)x^2 + (c+b)x + c + 1$

これが恒等式であるためには、両辺の各次数の項の係数が等しくなければなりません。したがって、以下の連立方程式が成り立ちます。

$x^2$ の係数: $0 = b+1$

$x$ の係数: $-a = c+b$

定数項: $-1 = c+1$

これらの連立方程式を解きます。

まず、$0 = b+1$ より $b = -1$。

次に、$-1 = c+1$ より $c = -2$。

最後に、$-a = c+b$ より $-a = -2 + (-1) = -3$。よって、$a = 3$。

3. 最終的な答え

$a = 3$, $b = -1$, $c = -2$