3つの直線 $l_1: (a+2)x + (3a-2)y - 7 = 0$, $l_2: x - y + 3a = 0$, $l_3: 2x + y - 6a = 0$ が与えられている。 (1) $a$ の値にかかわらず直線 $l_1$ が通る定点の座標を求める。 (2) 3直線 $l_1$, $l_2$, $l_3$ が三角形を作らないような $a$ の値を全て求める。

1. 問題の内容

3つの直線 $l_1: (a+2)x + (3a-2)y - 7 = 0$, $l_2: x - y + 3a = 0$, $l_3: 2x + y - 6a = 0$ が与えられている。

(1) $a$ の値にかかわらず直線 $l_1$ が通る定点の座標を求める。

(2) 3直線 $l_1$, $l_2$, $l_3$ が三角形を作らないような $a$ の値を全て求める。

2. 解き方の手順

(1) $l_1: (a+2)x + (3a-2)y - 7 = 0$ を $a$ について整理する。

$ax + 2x + 3ay - 2y - 7 = 0$

$a(x + 3y) + (2x - 2y - 7) = 0$

この式が任意の $a$ に対して成り立つためには、次の2式が同時に成り立つ必要がある。

$x + 3y = 0$

$2x - 2y - 7 = 0$

一つ目の式から $x = -3y$ が得られる。これを二つ目の式に代入すると、

$2(-3y) - 2y - 7 = 0$

$-6y - 2y - 7 = 0$

$-8y = 7$

$y = -\frac{7}{8}$

$x = -3y = -3(-\frac{7}{8}) = \frac{21}{8}$

したがって、直線 $l_1$ が通る定点の座標は $(\frac{21}{8}, -\frac{7}{8})$ である。

(2) 3直線が三角形を作らないのは、以下のいずれかの場合である。

(i) 3直線が平行な直線を含む場合。

(ii) 3直線が1点で交わる場合。

まず、$l_2$ と $l_3$ が平行でないことを確認する。

$l_2: x - y + 3a = 0$ より $y = x + 3a$

$l_3: 2x + y - 6a = 0$ より $y = -2x + 6a$

傾きがそれぞれ $1$ と $-2$ であるので、平行ではない。

(i) $l_1$ と $l_2$ が平行な場合。

$l_1: (a+2)x + (3a-2)y - 7 = 0$ より $(3a-2)y = -(a+2)x + 7$

$y = -\frac{a+2}{3a-2}x + \frac{7}{3a-2}$

$l_2: x - y + 3a = 0$ より $y = x + 3a$

$-\frac{a+2}{3a-2} = 1$

$-a - 2 = 3a - 2$

$4a = 0$

$a = 0$

$l_1$ と $l_3$ が平行な場合。

$l_3: 2x + y - 6a = 0$ より $y = -2x + 6a$

$-\frac{a+2}{3a-2} = -2$

$-a - 2 = -6a + 4$

$5a = 6$

$a = \frac{6}{5}$

(ii) 3直線が1点で交わる場合。

$l_2: x - y + 3a = 0$

$l_3: 2x + y - 6a = 0$

$l_2$ と $l_3$ の交点を求める。

$x - y + 3a = 0$ より $y = x + 3a$

$2x + y - 6a = 0$ に代入して、

$2x + x + 3a - 6a = 0$

$3x - 3a = 0$

$x = a$

$y = a + 3a = 4a$

交点の座標は $(a, 4a)$

この点が $l_1: (a+2)x + (3a-2)y - 7 = 0$ 上にあるので、

$(a+2)a + (3a-2)(4a) - 7 = 0$

$a^2 + 2a + 12a^2 - 8a - 7 = 0$

$13a^2 - 6a - 7 = 0$

$(13a + 7)(a - 1) = 0$

$a = 1, -\frac{7}{13}$

したがって、$a = 0, \frac{6}{5}, 1, -\frac{7}{13}$

3. 最終的な答え

(1) $(\frac{21}{8}, -\frac{7}{8})$

(2) $a = 0, \frac{6}{5}, 1, -\frac{7}{13}$