大人3人と子供5人が1列に並ぶとき、以下の条件を満たす並び方はそれぞれ何通りあるか。 (1) 大人3人が続いて並ぶ。 (2) 両端が子供である。 (3) 少なくとも一端に大人が来る。 (4) 大人3人が続いて並び、子供5人も続いて並ぶ。 (5) どの大人も隣り合わない。

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

大人3人と子供5人が1列に並ぶとき、以下の条件を満たす並び方はそれぞれ何通りあるか。

(1) 大人3人が続いて並ぶ。

(2) 両端が子供である。

(3) 少なくとも一端に大人が来る。

(4) 大人3人が続いて並び、子供5人も続いて並ぶ。

(5) どの大人も隣り合わない。

2. 解き方の手順

(1) 大人3人が続いて並ぶ場合

大人3人をひとまとめにして考えます。すると、大人3人のグループと子供5人の計6つのものを並べることになります。

並べ方は $6!$ 通りです。さらに、大人3人のグループ内での並び方は $3!$ 通りです。

したがって、全部で $6! \times 3!$ 通りとなります。

$6! \times 3! = 720 \times 6 = 4320$

(2) 両端が子供である場合

両端に子供を配置する方法は $5 \times 4 = 20$ 通りです。

残りの6人の並べ方は $6!$ 通りです。

したがって、全部で $20 \times 6!$ 通りとなります。

$20 \times 6! = 20 \times 720 = 14400$

(3) 少なくとも一端に大人が来る場合

これは、全体の場合の数から両端が子供である場合を引くことで求められます。

全体の場合の数は $8!$ 通りです。両端が子供である場合は(2)で求めた $14400$ 通りです。

したがって、全部で $8! - 14400$ 通りとなります。

$8! - 14400 = 40320 - 14400 = 25920$

別の考え方として、

少なくとも一端に大人が来るというのは、

i) 片方の端に大人が来る場合と、ii) 両方の端に大人が来る場合に分けられます。

全体から両端が子どもである場合を引くのが簡単です。

両端が子どもである場合の数は (2) より $5 \times 4 \times 6! = 14400$ 通り。

全体の場合の数は $8! = 40320$ 通りなので、$40320 - 14400 = 25920$ 通り。

(4) 大人3人が続いて並び、子供5人も続いて並ぶ場合

大人3人のグループと子供5人のグループを並べる方法は $2!$ 通りです。

大人3人のグループ内での並び方は $3!$ 通り、子供5人のグループ内での並び方は $5!$ 通りです。

したがって、全部で $2! \times 3! \times 5!$ 通りとなります。

$2! \times 3! \times 5! = 2 \times 6 \times 120 = 1440$

(5) どの大人も隣り合わない場合

まず、子供5人を並べます。並べ方は $5!$ 通りです。

次に、子供5人の間の6つの隙間（両端を含む）に大人3人を並べます。

6つの場所から3つを選ぶ方法は ${}_6P_3$ 通りです。

したがって、全部で $5! \times {}_6P_3$ 通りとなります。

$5! \times {}_6P_3 = 120 \times (6 \times 5 \times 4) = 120 \times 120 = 14400$

3. 最終的な答え

(1) 4320通り

(2) 14400通り

(3) 25920通り

(4) 1440通り

(5) 14400通り