与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ に対して、拡張された行列 $\tilde{A} = [A, I_2] = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ を考える。 (i) $\tilde{A}$ を簡約行列に変形する。その結果が $[I_2, B]$ の形になることを確かめる。 (ii) $AB = I_2$ となることを確かめる。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ に対して、拡張された行列 $\tilde{A} = [A, I_2] = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ を考える。

(i) $\tilde{A}$ を簡約行列に変形する。その結果が $[I_2, B]$ の形になることを確かめる。

(ii) $AB = I_2$ となることを確かめる。

2. 解き方の手順

(i) $\tilde{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ を簡約化する。まず、2行目から1行目の3倍を引く。

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3-3(1) & 4-3(2) & 0-3(1) & 1-3(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -3 & 1 \end{bmatrix}$$

次に、2行目を-2で割る。

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$$

次に、1行目から2行目の2倍を引く。

$$\begin{bmatrix} 1-2(0) & 2-2(1) & 1-2(\frac{3}{2}) & 0-2(-\frac{1}{2}) \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$$

したがって、簡約化された行列は $[I_2, B] = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$ となり、$B = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$ である。

(ii) $AB = I_2$ を確かめる。

$$AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(-2) + (2)(\frac{3}{2}) & (1)(1) + (2)(-\frac{1}{2}) \\ (3)(-2) + (4)(\frac{3}{2}) & (3)(1) + (4)(-\frac{1}{2}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 + 3 & 1 - 1 \\ -6 + 6 & 3 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I_2$$

確かに $AB = I_2$ である。

3. 最終的な答え

(i) $\tilde{A}$ を簡約化した結果は $\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$ であり、$B = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$ である。

(ii) $AB = I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ が成り立つ。