(3) 方程式 $4|x-1| = x+2$ の解をすべて求めよ。 (4) 方程式 $|x+3| = 2\sqrt{(x+1)^2 + 1}$ の解を求めよ。ただし、ア < イ とする。

1. 問題の内容

(3) 方程式 $4|x-1| = x+2$ の解をすべて求めよ。

(4) 方程式 $|x+3| = 2\sqrt{(x+1)^2 + 1}$ の解を求めよ。ただし、ア < イ とする。

2. 解き方の手順

(3)

絶対値記号を外すために場合分けをする。

(i) $x \geq 1$ のとき、$|x-1| = x-1$ なので、方程式は

$4(x-1) = x+2$

$4x - 4 = x+2$

$3x = 6$

$x = 2$

これは、$x \geq 1$ を満たすので、解である。

(ii) $x < 1$ のとき、$|x-1| = -(x-1) = 1-x$ なので、方程式は

$4(1-x) = x+2$

$4 - 4x = x+2$

$2 = 5x$

$x = \frac{2}{5}$

これは、$x < 1$ を満たすので、解である。

したがって、解は $x = 2, \frac{2}{5}$

(4)

方程式 $|x+3| = 2\sqrt{(x+1)^2 + 1}$ の両辺を2乗すると、

$(x+3)^2 = 4((x+1)^2 + 1)$

$x^2 + 6x + 9 = 4(x^2 + 2x + 1 + 1)$

$x^2 + 6x + 9 = 4x^2 + 8x + 8$

$0 = 3x^2 + 2x - 1$

$0 = (3x-1)(x+1)$

したがって、$x = \frac{1}{3}, -1$

条件より、ア < イである必要があるので、$x = -1, \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(3) $x = 2, \frac{2}{5}$

(4) $x = -1, \frac{1}{3}$ 、ただし $-1 < \frac{1}{3}$