$k > 2$ を満たす定数 $k$ が与えられています。 (1) 不等式 $5-x \le 4x < 2x+k$ を解きます。 (2) 不等式 $5-x \le 4x < 2x+k$ を満たす整数 $x$ がちょうど5つ存在するような定数 $k$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

$k > 2$ を満たす定数 $k$ が与えられています。

(1) 不等式 $5-x \le 4x < 2x+k$ を解きます。

(2) 不等式 $5-x \le 4x < 2x+k$ を満たす整数 $x$ がちょうど5つ存在するような定数 $k$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $5-x \le 4x < 2x+k$ を解く。

まず、$5-x \le 4x$ を解きます。

$5-x \le 4x$ より、 $5 \le 5x$ となり、$1 \le x$。

次に、$4x < 2x+k$ を解きます。

$4x < 2x+k$ より、$2x < k$ となり、$x < \frac{k}{2}$。

したがって、$1 \le x < \frac{k}{2}$。

(2) 不等式 $1 \le x < \frac{k}{2}$ を満たす整数 $x$ がちょうど5つ存在するような $k$ の値の範囲を求める。

$1 \le x < \frac{k}{2}$ を満たす整数 $x$ がちょうど5つ存在するためには、

$x = 1, 2, 3, 4, 5$ が不等式を満たし、 $x = 6$ が不等式を満たさない必要があります。

つまり、$5 < \frac{k}{2} \le 6$ である必要があります。

$5 < \frac{k}{2} \le 6$ を解くと、$10 < k \le 12$。

また、$k>2$ であるので、$10 < k \le 12$ は $k > 2$ を満たします。

3. 最終的な答え

(1) $1 \le x < \frac{k}{2}$

(2) $10 < k \le 12$