正の実数 $x, y$ が与えられたとき、$(x+1)(\frac{1}{x} + \frac{4}{y})$ の最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

正の実数 $x, y$ が与えられたとき、$(x+1)(\frac{1}{x} + \frac{4}{y})$ の最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

相加相乗平均の不等式を利用して解きます。

まず、与えられた式を展開します。

$(x+1)(\frac{1}{x} + \frac{4}{y}) = 1 + \frac{4x}{y} + \frac{1}{x} + \frac{4}{y}$

$= (1 + \frac{1}{x} + \frac{4x}{y} + \frac{4}{y})$

$x$と$y$が正の実数なので、相加相乗平均の不等式が使えます。

しかし、このままでは相加相乗平均の不等式を使っても簡単になりません。

問題文をよく見ると、制約条件が書かれていません。

そのため、問題文が不完全で解くことができません。

問題文に $xy=1$ という条件がある場合、以下のように解くことができます。

この条件がある場合、$\frac{4x}{y} + \frac{1}{x} = 4x^2 + \frac{1}{x}$

となり、$x$が定まれば最小値は求まるかもしれませんが、相加相乗平均の不等式を適用しても簡単な形にはなりません。

問題文が正しいと仮定して、相加相乗平均の不等式を適用します。

$\frac{4x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2\sqrt{\frac{4x}{y} \cdot \frac{y}{x}} = 2\sqrt{4} = 4$

すると、

$(x+1)(\frac{1}{x} + \frac{4}{y}) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{4x}{y} + \frac{4}{y} = (1 + \frac{1}{x}) + (\frac{4x}{y} + \frac{4}{y})$

この形からでは、最小値を求めるのは難しいです。

元の式を変形します。

$(x+1)(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}) = (1+\frac{1}{x}) + \frac{4x}{y} + \frac{4}{y} = (\frac{x+1}{x}) + \frac{4}{y}(x+1) = (x+1)(\frac{1}{x}+\frac{4}{y})$

やはり、この形からも最小値を求めるのは難しいです。

元の問題文に制約が抜けており、正しく解くことができません。

3. 最終的な答え

問題文が不完全で解くことができません。

問題文の修正が必要です。