問題は、与えられた公式 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ と $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ を使って、平方根を含む式の二乗を計算する問題です。今回は、(1) $(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2$, (2) $(\sqrt{7} - \sqrt{2})^2$, (3) $(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2$, (4) $(3\sqrt{2} - \sqrt{6})^2$, (5) $(2\sqrt{10} - 3\sqrt{5})^2$, (6) $(2\sqrt{3} - 1)^2$, (7) $(3\sqrt{5} + 2)^2$ の7つの問題を解きます。

1. 問題の内容

問題は、与えられた公式 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ と $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ を使って、平方根を含む式の二乗を計算する問題です。今回は、(1) $(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2$, (2) $(\sqrt{7} - \sqrt{2})^2$, (3) $(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2$, (4) $(3\sqrt{2} - \sqrt{6})^2$, (5) $(2\sqrt{10} - 3\sqrt{5})^2$, (6) $(2\sqrt{3} - 1)^2$, (7) $(3\sqrt{5} + 2)^2$ の7つの問題を解きます。

2. 解き方の手順

(1) $(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2$

$a = \sqrt{5}, b = \sqrt{3}$ として、公式 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ を使います。

$(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2(\sqrt{5})(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15}$

(2) $(\sqrt{7} - \sqrt{2})^2$

$a = \sqrt{7}, b = \sqrt{2}$ として、公式 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ を使います。

$(\sqrt{7} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{7})^2 - 2(\sqrt{7})(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 = 7 - 2\sqrt{14} + 2 = 9 - 2\sqrt{14}$

(3) $(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2$

$a = \sqrt{6}, b = \sqrt{2}$ として、公式 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ を使います。

$(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{6})^2 + 2(\sqrt{6})(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 = 6 + 2\sqrt{12} + 2 = 8 + 2\sqrt{4 \cdot 3} = 8 + 2(2\sqrt{3}) = 8 + 4\sqrt{3}$

(4) $(3\sqrt{2} - \sqrt{6})^2$

$a = 3\sqrt{2}, b = \sqrt{6}$ として、公式 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ を使います。

$(3\sqrt{2} - \sqrt{6})^2 = (3\sqrt{2})^2 - 2(3\sqrt{2})(\sqrt{6}) + (\sqrt{6})^2 = 9(2) - 6\sqrt{12} + 6 = 18 - 6\sqrt{4 \cdot 3} + 6 = 24 - 6(2\sqrt{3}) = 24 - 12\sqrt{3}$

(5) $(2\sqrt{10} - 3\sqrt{5})^2$

$a = 2\sqrt{10}, b = 3\sqrt{5}$ として、公式 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ を使います。

$(2\sqrt{10} - 3\sqrt{5})^2 = (2\sqrt{10})^2 - 2(2\sqrt{10})(3\sqrt{5}) + (3\sqrt{5})^2 = 4(10) - 12\sqrt{50} + 9(5) = 40 - 12\sqrt{25 \cdot 2} + 45 = 85 - 12(5\sqrt{2}) = 85 - 60\sqrt{2}$

(6) $(2\sqrt{3} - 1)^2$

$a = 2\sqrt{3}, b = 1$ として、公式 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ を使います。

$(2\sqrt{3} - 1)^2 = (2\sqrt{3})^2 - 2(2\sqrt{3})(1) + 1^2 = 4(3) - 4\sqrt{3} + 1 = 12 - 4\sqrt{3} + 1 = 13 - 4\sqrt{3}$

(7) $(3\sqrt{5} + 2)^2$

$a = 3\sqrt{5}, b = 2$ として、公式 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ を使います。

$(3\sqrt{5} + 2)^2 = (3\sqrt{5})^2 + 2(3\sqrt{5})(2) + 2^2 = 9(5) + 12\sqrt{5} + 4 = 45 + 12\sqrt{5} + 4 = 49 + 12\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $8 + 2\sqrt{15}$

(2) $9 - 2\sqrt{14}$

(3) $8 + 4\sqrt{3}$

(4) $24 - 12\sqrt{3}$

(5) $85 - 60\sqrt{2}$

(6) $13 - 4\sqrt{3}$

(7) $49 + 12\sqrt{5}$