与えられた条件が、他の条件に対する必要条件、十分条件、必要十分条件、またはどれでもないかを判断する問題です。 (1) $x > 0$ は $x \ge 0$ のための？ (2) $x = 0$ は $x^2 + y^2 = 0$ のための？ (3) $xy = 0$ は $x = 0$ かつ $y = 0$ のための？ (4) $x^2 + y^2 = 1$ は $x + y = 0$ のための？ (5) すべての $x$ について $xy = 0$ であることは、$y = 0$ のための？ (6) $(xy)^2$ が無理数であることは、$x$ または $y$ が無理数であることのための？

1. 問題の内容

与えられた条件が、他の条件に対する必要条件、十分条件、必要十分条件、またはどれでもないかを判断する問題です。

(1) $x > 0$ は $x \ge 0$ のための？

(2) $x = 0$ は $x^2 + y^2 = 0$ のための？

(3) $xy = 0$ は $x = 0$ かつ $y = 0$ のための？

(4) $x^2 + y^2 = 1$ は $x + y = 0$ のための？

(5) すべての $x$ について $xy = 0$ であることは、$y = 0$ のための？

(6) $(xy)^2$ が無理数であることは、$x$ または $y$ が無理数であることのための？

2. 解き方の手順

各文について、与えられた条件が十分条件、必要条件、またはその両方であるかを検討します。

(1) $x > 0$ ならば $x \ge 0$ は成り立つため、$x > 0$ は $x \ge 0$ の十分条件です。しかし、$x = 0$ の場合、$x \ge 0$ は成り立ちますが、$x > 0$ は成り立ちません。したがって、$x > 0$ は $x \ge 0$ の必要条件ではありません。

答え: ②

(2) $x = 0$ ならば $x^2 + y^2 = 0$ となるためには $y=0$ である必要があり、一般に成り立ちません。$x^2+y^2 = 0$ ならば、$x=0$ かつ $y=0$ である必要があります。よって、$x=0$ は $x^2+y^2 = 0$ の必要条件でも十分条件でもありません。

$x = 0$ かつ $y = 0$ ならば、$x^2 + y^2 = 0$ が成り立ちます。$x=0$は$x^2+y^2 = 0$の必要条件ではありません。十分条件でもありません。

答え: ④

(3) $xy = 0$ ならば、$x = 0$ または $y = 0$ が成り立ちます。一方、$x = 0$ かつ $y = 0$ ならば、$xy = 0$ は成り立ちます。

$x=0$ かつ $y=0$ ならば $xy=0$は成立します。しかし、$xy=0$でも$x=0$かつ$y=0$が成立するとは限りません（$x=0, y=1$の場合）。したがって、$xy=0$は$x=0$ かつ $y=0$のための必要条件ですが十分条件ではありません。

答え: ③

(4) $x^2 + y^2 = 1$ ならば、$x + y = 0$ が成り立つとは限りません。例えば、$x = 1, y = 0$ の場合、$x^2 + y^2 = 1$ は成り立ちますが、$x + y = 1$ となり、$x + y = 0$ は成り立ちません。

$x + y = 0$ ならば、$x = -y$ なので、$x^2 + y^2 = 1$ が成り立つとは限りません。例えば、$x=0$のとき、$y=0$となるので、$x^2+y^2=0$ となり、$x^2+y^2=1$は成立しません。

答え: ④

(5) すべての $x$ について $xy = 0$ が成り立つならば、$y = 0$ が成り立ちます。

$y = 0$ ならば、すべての $x$ に対して $xy = 0$ が成り立ちます。したがって、すべての $x$ について $xy = 0$ であることは、$y = 0$ の必要十分条件です。

答え: ①

(6) $(xy)^2$ が無理数であるならば、$x$ または $y$ が無理数であるとは限りません。例えば、$x = \sqrt{2}, y = \sqrt{2}$のとき、$(xy)^2 = (\sqrt{2}\sqrt{2})^2 = 4$ となり無理数ではありませんが、$x, y$ はともに無理数です。$x = \sqrt[4]{2}, y = \sqrt[4]{8}$のとき、$(xy)^2 = (\sqrt[4]{16})^2 = 4$で無理数でありません。

$x$ または $y$ が無理数であるならば、$(xy)^2$ が無理数であるとは限りません。例えば、$x = \sqrt{2}, y = 0$ ならば、$x$ は無理数ですが、$(xy)^2 = 0$ は無理数ではありません。

$(xy)^2$ が無理数ならば、$x$と$y$がともに有理数ということはありえません。もし$x$と$y$がともに有理数なら$(xy)^2$も有理数になるはずだからです。

$(xy)^2$が無理数なら、$x$または$y$が無理数です。

答え: ①

3. 最終的な答え

(1) ②

(2) ④

(3) ③

(4) ④

(5) ①

(6) ①