数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 3$ と $(n+1)a_{n+1} = a_n^2 - 1$ で定められているとき、一般項 $a_n$ を推測し、数学的帰納法を用いて証明する。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 3$ と $(n+1)a_{n+1} = a_n^2 - 1$ で定められているとき、一般項 $a_n$ を推測し、数学的帰納法を用いて証明する。

2. 解き方の手順

まず、いくつかの項を計算して一般項を推測します。

$a_1 = 3$

$2a_2 = a_1^2 - 1 = 3^2 - 1 = 8 \implies a_2 = 4$

$3a_3 = a_2^2 - 1 = 4^2 - 1 = 15 \implies a_3 = 5$

$4a_4 = a_3^2 - 1 = 5^2 - 1 = 24 \implies a_4 = 6$

これらの結果から、一般項は $a_n = n+2$ と推測できます。

次に、数学的帰納法を用いて $a_n = n+2$ を証明します。

(1) $n=1$ のとき、$a_1 = 3$ であり、$1+2 = 3$ であるから、$a_1 = 1+2$ が成立します。

(2) $n=k$ のとき、$a_k = k+2$ が成立すると仮定します。

このとき、$a_{k+1} = (k+1)+2 = k+3$ を示す必要があります。

与えられた漸化式より、

$(k+1)a_{k+1} = a_k^2 - 1$

帰納法の仮定より、$a_k = k+2$ であるから、

$(k+1)a_{k+1} = (k+2)^2 - 1 = k^2 + 4k + 4 - 1 = k^2 + 4k + 3 = (k+1)(k+3)$

したがって、$a_{k+1} = \frac{(k+1)(k+3)}{k+1} = k+3$

これは、$a_{k+1} = (k+1) + 2$ を示しているので、$n=k+1$ のときも成立します。

(1) と (2) より、すべての自然数 $n$ に対して、$a_n = n+2$ が成立します。

3. 最終的な答え

$a_n = n+2$