(1) $2x^2-7x-1=a(x-1)^2+b(x-1)+c$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を定める。 (2) $\frac{x+1}{(x-1)(3x-1)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{3x-1}$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b$ の値を定める。

はい、承知いたしました。次の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) $2x^2-7x-1=a(x-1)^2+b(x-1)+c$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を定める。

(2) $\frac{x+1}{(x-1)(3x-1)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{3x-1}$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b$ の値を定める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、右辺を展開します。

$a(x-1)^2+b(x-1)+c = a(x^2-2x+1) + b(x-1) + c = ax^2 - 2ax + a + bx - b + c = ax^2 + (-2a+b)x + (a-b+c)$

この式が $2x^2-7x-1$ と恒等的に等しいので、各係数が等しくなります。

$a = 2$

$-2a+b = -7$

$a-b+c = -1$

$a=2$ を $-2a+b = -7$ に代入すると、$-2(2) + b = -7$ より $b = -7+4 = -3$

$a=2$ と $b=-3$ を $a-b+c = -1$ に代入すると、$2 - (-3) + c = -1$ より $5 + c = -1$, よって $c = -6$

(2)

$\frac{x+1}{(x-1)(3x-1)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{3x-1}$ の両辺に $(x-1)(3x-1)$ をかけます。

$x+1 = a(3x-1) + b(x-1)$

$x+1 = 3ax - a + bx - b$

$x+1 = (3a+b)x + (-a-b)$

この式が恒等的に等しいので、各係数が等しくなります。

$3a+b = 1$

$-a-b = 1$

この連立方程式を解きます。

$3a+b = 1$

$-a-b = 1$

足し合わせると $2a = 2$ より $a = 1$

$-a-b = 1$ に $a=1$ を代入すると $-1-b = 1$ より $b = -2$

3. 最終的な答え

(1)

$a = 2$

$b = -3$

$c = -6$

(2)

$a = 1$

$b = -2$