$m$ を定数とする。2次方程式 $x^2 + (m+1)x + 4 = 0$ の解の種類が、(1)異なる2つの実数解、(2)重解、(3)異なる2つの虚数解となるように、$m$ の値または値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$m$ を定数とする。2次方程式 $x^2 + (m+1)x + 4 = 0$ の解の種類が、(1)異なる2つの実数解、(2)重解、(3)異なる2つの虚数解となるように、$m$ の値または値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

判別式 $D$ を利用して解の種類を判別する。

$D = b^2 - 4ac$ であり、今回の場合は、$a = 1$, $b = m+1$, $c = 4$ である。よって、

$D = (m+1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = (m+1)^2 - 16 = m^2 + 2m + 1 - 16 = m^2 + 2m - 15$

(1) 異なる2つの実数解を持つ場合、$D > 0$ である。

$m^2 + 2m - 15 > 0$

$(m+5)(m-3) > 0$

$m < -5$ または $m > 3$

(2) 重解を持つ場合、$D = 0$ である。

$m^2 + 2m - 15 = 0$

$(m+5)(m-3) = 0$

$m = -5$ または $m = 3$

(3) 異なる2つの虚数解を持つ場合、$D < 0$ である。

$m^2 + 2m - 15 < 0$

$(m+5)(m-3) < 0$

$-5 < m < 3$

3. 最終的な答え

(1) 異なる2つの実数解を持つとき：$m < -5$ または $m > 3$

(2) 重解を持つとき：$m = -5$ または $m = 3$

(3) 異なる2つの虚数解を持つとき：$-5 < m < 3$