与えられた整式 $P(x) = x^3 + 2(a+1)x^2 + 3ax - 2a$ について、以下の問いに答えます。 (1) $P(-2)$ の値を求めます。 (2) $P(x)$ を因数分解します。 (3) 方程式 $P(x) = 0$ の解がすべて実数となるような $a$ の値の範囲を求めます。また、$P(x) = 0$ が異なる実数解をちょうど2個持つような $a$ の値と、そのときの実数解をそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

与えられた整式 $P(x) = x^3 + 2(a+1)x^2 + 3ax - 2a$ について、以下の問いに答えます。

(1) $P(-2)$ の値を求めます。

(2) $P(x)$ を因数分解します。

(3) 方程式 $P(x) = 0$ の解がすべて実数となるような $a$ の値の範囲を求めます。また、$P(x) = 0$ が異なる実数解をちょうど2個持つような $a$ の値と、そのときの実数解をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

(1) $P(-2)$ の値を求める

$P(x)$ に $x = -2$ を代入します。

$P(-2) = (-2)^3 + 2(a+1)(-2)^2 + 3a(-2) - 2a = -8 + 8(a+1) - 6a - 2a = -8 + 8a + 8 - 6a - 2a = 0$

よって、$P(-2) = 0$ となります。

(2) $P(x)$ を因数分解する

(1)より、$P(-2) = 0$ なので、$P(x)$ は $(x+2)$ を因数に持ちます。そこで、$P(x)$ を $x+2$ で割ります。

$$$$

\begin{array}{c|cccc}

\multicolumn{2}{r}{x^2} & +2ax & -a \\

\cline{2-5}

x+2 & x^3 & +2(a+1)x^2 & +3ax & -2a \\

\multicolumn{2}{r}{x^3} & +2x^2 \\

\cline{2-3}

\multicolumn{2}{r}{0} & 2ax^2 & +3ax \\

\multicolumn{2}{r}{} & 2ax^2 & +4ax \\

\cline{3-4}

\multicolumn{2}{r}{} & 0 & -ax & -2a \\

\multicolumn{2}{r}{} & & -ax & -2a \\

\cline{4-5}

\multicolumn{2}{r}{} & & 0 & 0 \\

\end{array}

$$$$

したがって、$P(x) = (x+2)(x^2 + 2ax - a)$ と因数分解できます。

(3) 方程式 $P(x) = 0$ の解がすべて実数となるような $a$ の値の範囲を求める

$P(x) = (x+2)(x^2 + 2ax - a) = 0$ なので、$x = -2$ または $x^2 + 2ax - a = 0$ となります。

$x^2 + 2ax - a = 0$ が実数解を持つ条件は、判別式 $D \ge 0$ となることです。

$D = (2a)^2 - 4(1)(-a) = 4a^2 + 4a = 4a(a+1) \ge 0$

よって、$a \le -1$ または $a \ge 0$ となります。

方程式 $P(x) = 0$ が異なる実数解をちょうど2個持つような $a$ の値を求める。

$P(x) = (x+2)(x^2 + 2ax - a) = 0$ が異なる実数解を2個持つためには、

i) $x^2 + 2ax - a = 0$ が $x=-2$ を解に持つ場合。

ii) $x^2 + 2ax - a = 0$ が重解を持ち、その重解が $x \neq -2$ となる場合。

のいずれかが必要です。

i) $x^2 + 2ax - a = 0$ が $x=-2$ を解に持つ場合

$(-2)^2 + 2a(-2) - a = 0 \Rightarrow 4 - 4a - a = 0 \Rightarrow 5a = 4 \Rightarrow a = \frac{4}{5}$

$x^2 + \frac{8}{5}x - \frac{4}{5} = 0 \Rightarrow 5x^2 + 8x - 4 = 0 \Rightarrow (5x - 2)(x+2) = 0 \Rightarrow x = -2, \frac{2}{5}$

よって、$a = \frac{4}{5}$ のとき、解は $x = -2, \frac{2}{5}$ となり、異なる実数解を2個持ちます。

ii) $x^2 + 2ax - a = 0$ が重解を持つ場合

判別式 $D = 4a(a+1) = 0$ より、$a = 0$ または $a = -1$

$a = 0$ のとき、$x^2 = 0 \Rightarrow x = 0 \neq -2$

$a = -1$ のとき、$x^2 - 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x-1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1 \neq -2$

したがって、$a = 0$ のとき、解は $x = -2, 0$ となり、異なる実数解を2個持ちます。

また、$a = -1$ のとき、解は $x = -2, 1$ となり、異なる実数解を2個持ちます。

3. 最終的な答え

(1) $P(-2) = 0$

(2) $P(x) = (x+2)(x^2 + 2ax - a)$

(3)

- 解がすべて実数となる $a$ の範囲：$a \le -1$ または $a \ge 0$

- 異なる実数解をちょうど2個持つ $a$ の値：$a = -1, 0, \frac{4}{5}$

- $a = -1$ のとき、実数解は $x = -2, 1$

- $a = 0$ のとき、実数解は $x = -2, 0$

- $a = \frac{4}{5}$ のとき、実数解は $x = -2, \frac{2}{5}$