2次関数 $y = x^2 + bx - 1$ において、定数 $b$ の値を変化させたときにグラフがどのように移動するかを考察する問題です。頂点の座標や、移動可能な象限、 $b$ の増減と頂点の座標の関係などを問われています。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + bx - 1$ において、定数 $b$ の値を変化させたときにグラフがどのように移動するかを考察する問題です。頂点の座標や、移動可能な象限、 $b$ の増減と頂点の座標の関係などを問われています。

2. 解き方の手順

(1) ア～ウに当てはまる数または式を求める。

まず、与えられた2次関数 $y = x^2 + bx - 1$ を平方完成します。

$y = (x + \frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2 - 1$

$y = (x + \frac{b}{2})^2 - \frac{b^2}{4} - 1$

したがって、頂点の座標は $(-\frac{b}{2}, -\frac{b^2}{4} - 1)$ となります。

ア: 頂点の座標は $(-\frac{b}{2}, -\frac{b^2}{4} - 1)$

$y$座標は常に負の値を取るので、頂点が第1象限と第2象限に移動することはありません。頂点は第3象限と第4象限を移動可能です。

イ: 第3

ウ: 第4

(2) エに当てはまる選択肢を選ぶ。

頂点の $x$ 座標は $-\frac{b}{2}$ です。 $b$ の値を増加させると、 $-\frac{b}{2}$ の値は減少します。

エ: イ 減少する

(3) $b$ の値を変化させたときの頂点の $y$ 座標の変化を説明する。

頂点の $y$ 座標は $-\frac{b^2}{4} - 1$ です。

$b < 0$ のとき、$b$ の絶対値が大きくなるほど、$b^2$ が大きくなり、$-\frac{b^2}{4} - 1$ は減少します。また、$b$の絶対値が小さくなるほど、$b^2$が小さくなり、$-\frac{b^2}{4} - 1$ は増加します。よって、$b$ が0に近づくにつれて増加し、$b$ が負の方向に大きくなるにつれて減少します。

$b > 0$ のとき、$b$ が大きくなるほど、$b^2$ が大きくなり、$-\frac{b^2}{4} - 1$ は減少します。また、$b$ が小さくなるほど、$b^2$が小さくなり、$-\frac{b^2}{4} - 1$ は増加します。よって、$b$ が0に近づくにつれて増加し、$b$ が正の方向に大きくなるにつれて減少します。

3. 最終的な答え

(1) ア: $(-\frac{b}{2}, -\frac{b^2}{4} - 1)$

イ: 第3

ウ: 第4

(2) エ: イ 減少する

(3)

$b < 0$ のとき: $b$ が0に近づくにつれて増加し、$b$ が負の方向に大きくなるにつれて減少する。

$b > 0$ のとき: $b$ が0に近づくにつれて増加し、$b$ が正の方向に大きくなるにつれて減少する。