与えられた式 $(x+1)^2(x-1)^2$ を展開せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+1)^2(x-1)^2$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(x+1)^2$と$(x-1)^2$をそれぞれ展開します。

$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$

$(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$

次に、$(x^2 + 2x + 1)$と$(x^2 - 2x + 1)$を掛け合わせます。

$(x^2 + 2x + 1)(x^2 - 2x + 1) = ((x^2 + 1) + 2x)((x^2 + 1) - 2x)$

これは、$(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$の形になっているので、以下のように計算できます。

$((x^2 + 1) + 2x)((x^2 + 1) - 2x) = (x^2 + 1)^2 - (2x)^2$

$(x^2 + 1)^2 = (x^2)^2 + 2(x^2)(1) + 1^2 = x^4 + 2x^2 + 1$

$(2x)^2 = 4x^2$

したがって、

$(x^4 + 2x^2 + 1) - 4x^2 = x^4 - 2x^2 + 1$

3. 最終的な答え

$x^4 - 2x^2 + 1$