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与えられた式 $(x+1)^2(x-1)^2$ を展開せよ。

代数学展開多項式因数分解式の計算
2025/3/25

1. 問題の内容

与えられた式 (x+1)2(x−1)2(x+1)^2(x-1)^2 を展開せよ。

2. 解き方の手順

まず、(x+1)2 (x+1)^2 と(x−1)2 (x-1)^2 をそれぞれ展開します。
(x+1)2=x2+2x+1 (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1
(x−1)2=x2−2x+1 (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1
次に、(x2+2x+1) (x^2 + 2x + 1) と(x2−2x+1) (x^2 - 2x + 1) を掛け合わせます。
(x2+2x+1)(x2−2x+1)=((x2+1)+2x)((x2+1)−2x) (x^2 + 2x + 1)(x^2 - 2x + 1) = ((x^2 + 1) + 2x)((x^2 + 1) - 2x)
これは、(A+B)(A−B)=A2−B2 (A+B)(A-B) = A^2 - B^2 の形になっているので、以下のように計算できます。
((x2+1)+2x)((x2+1)−2x)=(x2+1)2−(2x)2 ((x^2 + 1) + 2x)((x^2 + 1) - 2x) = (x^2 + 1)^2 - (2x)^2
(x2+1)2=(x2)2+2(x2)(1)+12=x4+2x2+1 (x^2 + 1)^2 = (x^2)^2 + 2(x^2)(1) + 1^2 = x^4 + 2x^2 + 1
(2x)2=4x2 (2x)^2 = 4x^2
したがって、
(x4+2x2+1)−4x2=x4−2x2+1 (x^4 + 2x^2 + 1) - 4x^2 = x^4 - 2x^2 + 1

3. 最終的な答え

x4−2x2+1x^4 - 2x^2 + 1

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