問題4は分母の有理化の問題、問題5は根号を含む式の簡略化の問題です。

1. 問題の内容

問題4は分母の有理化の問題、問題5は根号を含む式の簡略化の問題です。

2. 解き方の手順

問題4

(1) 分母を有理化するために、分母と分子に$\sqrt{6}$を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{1 \times \sqrt{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$

(2) 分母を有理化するために、分母と分子に$\sqrt{3}$を掛けます。

$\frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3 \times \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \times 3} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(3) 分母を有理化するために、分母と分子に$\sqrt{7} - \sqrt{3}$を掛けます。

$\frac{5}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} = \frac{5 \times (\sqrt{7} - \sqrt{3})}{(\sqrt{7} + \sqrt{3}) \times (\sqrt{7} - \sqrt{3})} = \frac{5(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{7 - 3} = \frac{5(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{4}$

(4) 分母を有理化するために、分母と分子に$\sqrt{6} + \sqrt{2}$を掛けます。

$\frac{2}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{2 \times (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \times (\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{2(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{2(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$

問題5

(1) $a+b=5$ かつ $ab=6$ を満たす数は $a=3$、$b=2$ である。

$\sqrt{5+2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$

(2) $a+b=10$ かつ $ab=21$ を満たす数は $a=7$、$b=3$ である。

$\sqrt{10-2\sqrt{21}} = \sqrt{(\sqrt{7} - \sqrt{3})^2} = \sqrt{7} - \sqrt{3}$

(3) $\sqrt{9a^2+6ab+b^2} = \sqrt{(3a+b)^2} = |3a+b|$

3. 最終的な答え

問題4

(1) $\frac{\sqrt{6}}{6}$

(2) $\frac{\sqrt{3}}{2}$

(3) $\frac{5(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{4}$

(4) $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$

問題5

(1) $\sqrt{3} + \sqrt{2}$

(2) $\sqrt{7} - \sqrt{3}$

(3) $|3a+b|$