与えられた連立一次方程式が解を持つための条件を求め、さらに解を持つ場合の解を求める問題です。連立一次方程式は以下の通りです。 $x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 1$ $2x_1 + 3x_2 + 4x_3 = a$ $3x_1 + 4x_2 + 5x_3 = b$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式が解を持つための条件を求め、さらに解を持つ場合の解を求める問題です。連立一次方程式は以下の通りです。

$x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 1$

$2x_1 + 3x_2 + 4x_3 = a$

$3x_1 + 4x_2 + 5x_3 = b$

2. 解き方の手順

連立一次方程式を行列で表現し、拡大係数行列を作成します。その後、行基本変形を用いて階段行列に変形し、解の存在条件を求めます。解が存在する場合、逆行列を求めるか、ガウスの消去法を用いて解を求めます。

まず、拡大係数行列を作成します。

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 & 1 \\

2 & 3 & 4 & a \\

3 & 4 & 5 & b

\end{pmatrix}$

次に、行基本変形を行います。

2行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 & 1 \\

0 & -1 & -2 & a-2 \\

3 & 4 & 5 & b

\end{pmatrix}$

3行目から1行目の3倍を引きます。

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 & 1 \\

0 & -1 & -2 & a-2 \\

0 & -2 & -4 & b-3

\end{pmatrix}$

3行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 & 1 \\

0 & -1 & -2 & a-2 \\

0 & 0 & 0 & b-3 - 2(a-2)

\end{pmatrix}$

最後の行を整理すると、

$b - 3 - 2a + 4 = b - 2a + 1$

したがって、解を持つためには、

$b - 2a + 1 = 0$

すなわち、

$2a - b = 1$

この条件が満たされるとき、解が存在します。

$x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 1$

$-x_2 - 2x_3 = a - 2$

$x_2 = 2 - a - 2x_3$

$x_1 = 1 - 2(2 - a - 2x_3) - 3x_3 = 1 - 4 + 2a + 4x_3 - 3x_3 = -3 + 2a + x_3$

したがって、解は、

$x_1 = -3 + 2a + x_3$

$x_2 = 2 - a - 2x_3$

$x_3 = x_3$ (任意)

3. 最終的な答え

解を持つ条件：$2a - b = 1$

解：

$x_1 = -3 + 2a + x_3$

$x_2 = 2 - a - 2x_3$

$x_3 = x_3$ (任意)

ここで、$x_3$ は任意の実数です。