$(x+y)^4$を展開する問題です。

1. 問題の内容

$(x+y)^4$を展開する問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を使います。二項定理は

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

と表されます。

ここで、$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$は二項係数です。

$(x+y)^4$に二項定理を適用すると、以下のようになります。

$(x+y)^4 = \binom{4}{0} x^4 y^0 + \binom{4}{1} x^3 y^1 + \binom{4}{2} x^2 y^2 + \binom{4}{3} x^1 y^3 + \binom{4}{4} x^0 y^4$

それぞれの二項係数を計算します。

$\binom{4}{0} = \frac{4!}{0!4!} = 1$

$\binom{4}{1} = \frac{4!}{1!3!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{1 \times 3 \times 2 \times 1} = 4$

$\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1} = 6$

$\binom{4}{3} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1 \times 1} = 4$

$\binom{4}{4} = \frac{4!}{4!0!} = 1$

したがって、

$(x+y)^4 = 1 \cdot x^4 \cdot 1 + 4 \cdot x^3 \cdot y + 6 \cdot x^2 \cdot y^2 + 4 \cdot x \cdot y^3 + 1 \cdot 1 \cdot y^4$

$(x+y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4$

3. 最終的な答え

$x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4$