複素数 $z$ に関する方程式 $z^3 = i$ を解く問題です。

1. 問題の内容

複素数 $z$ に関する方程式 $z^3 = i$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、$i$ を極形式で表します。$i$ の絶対値は1、偏角は$\frac{\pi}{2}$なので、

$i = \cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2})$

と表せます。

$z$ を極形式で $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ とおくと、$z^3$ は

$z^3 = r^3(\cos(3\theta) + i\sin(3\theta))$

と表せます。

したがって、$z^3 = i$ は

$r^3(\cos(3\theta) + i\sin(3\theta)) = \cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2})$

となります。

両辺の絶対値と偏角を比較すると、

$r^3 = 1$

$3\theta = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ (nは整数)

が得られます。

$r$ は正の実数なので、$r=1$ となります。

$\theta = \frac{\pi}{6} + \frac{2n\pi}{3}$

$n = 0, 1, 2$ に対して異なる解が得られます。

$n=0$ のとき、 $\theta = \frac{\pi}{6}$

$n=1$ のとき、 $\theta = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}$

$n=2$ のとき、 $\theta = \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$

したがって、3つの解は

$z_1 = \cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$

$z_2 = \cos(\frac{5\pi}{6}) + i\sin(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$

$z_3 = \cos(\frac{3\pi}{2}) + i\sin(\frac{3\pi}{2}) = -i$

3. 最終的な答え

$z = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i, -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i, -i$