与えられた3つの式を展開せよ。 (1) $(x+y)^2$ (2) $(x+y)^3$ (3) $(x+y)^4$

1. 問題の内容

与えられた3つの式を展開せよ。

(1) $(x+y)^2$

(2) $(x+y)^3$

(3) $(x+y)^4$

2. 解き方の手順

(1) $(x+y)^2$

二項定理、または直接展開する。

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

(2) $(x+y)^3$

二項定理、または$(x+y)^2$の結果を使って展開する。

$(x+y)^3 = (x+y)(x+y)^2 = (x+y)(x^2 + 2xy + y^2) = x^3 + 2x^2y + xy^2 + x^2y + 2xy^2 + y^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

$(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

(3) $(x+y)^4$

二項定理、または$(x+y)^3$の結果を使って展開する。

$(x+y)^4 = (x+y)(x+y)^3 = (x+y)(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) = x^4 + 3x^3y + 3x^2y^2 + xy^3 + x^3y + 3x^2y^2 + 3xy^3 + y^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4$

$(x+y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4$

3. 最終的な答え

(1) $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

(2) $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

(3) $(x+y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4$