与えられた式 $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}$ の分母を有理化せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}$ の分母を有理化せよ。

2. 解き方の手順

まず、分母を $(\sqrt{2} + \sqrt{3}) + \sqrt{5}$ と見て、$(\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \sqrt{5}$ を分母と分子にかける。

$\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}} = \frac{1}{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) + \sqrt{5}} \cdot \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \sqrt{5}}{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \sqrt{5}}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2}$

次に、分母を計算する。

$(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 - 5 = 2 + 2\sqrt{6} + 3 - 5 = 2\sqrt{6}$

したがって、

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \sqrt{5}}{2\sqrt{6}}$

さらに、分母を有理化するために、$\sqrt{6}$ を分母と分子にかける。

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})}{2\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})}{2 \cdot 6} = \frac{\sqrt{12} + \sqrt{18} - \sqrt{30}}{12} = \frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{30}}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{30}}{12}$