2次方程式 $x^2 + 4x + 5 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$とするとき、以下の値を求めます。 1. $\alpha + \beta$ 2. $\alpha \beta$ 3. $\alpha^2 + \beta^2$ 4. $\alpha^3 + \beta^3$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 4x + 5 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$とするとき、以下の値を求めます。

1. $\alpha + \beta$

2. $\alpha \beta$

3. $\alpha^2 + \beta^2$

4. $\alpha^3 + \beta^3$

2. 解き方の手順

解と係数の関係より、

$$\alpha + \beta = -\frac{4}{1} = -4$$

$$\alpha \beta = \frac{5}{1} = 5$$

$\alpha^2 + \beta^2$ を計算するために、次の公式を使用します。

$$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$$

したがって、

$$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (-4)^2 - 2(5) = 16 - 10 = 6$$

$\alpha^3 + \beta^3$ を計算するために、次の公式を使用します。

$$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2) = (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta)$$

したがって、

$$\alpha^3 + \beta^3 = (-4)((-4)^2 - 3(5)) = (-4)(16 - 15) = -4$$

3. 最終的な答え

1. $\alpha + \beta = -4$

2. $\alpha \beta = 5$

3. $\alpha^2 + \beta^2 = 6$

4. $\alpha^3 + \beta^3 = -4$