(2) 2次式 $x^2 - 2x + 2$ を複素数の範囲で因数分解する。 (3) 和が6、積が13となる2つの数を求める。

1. 問題の内容

(2) 2次式 $x^2 - 2x + 2$ を複素数の範囲で因数分解する。

(3) 和が6、積が13となる2つの数を求める。

2. 解き方の手順

(2)

まず、$x^2 - 2x + 2 = 0$ となる $x$ を解の公式で求める。

解の公式は、$ax^2 + bx + c = 0$ に対して、$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ である。

今回の問題では、$a = 1, b = -2, c = 2$ なので、

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i$

よって、$x = 1 + i$ または $x = 1 - i$ である。

したがって、$x^2 - 2x + 2 = (x - (1 + i))(x - (1 - i)) = (x - 1 - i)(x - 1 + i)$ と因数分解できる。

(3)

2つの数を $p$ と $q$ とする。

$p + q = 6$

$pq = 13$

$q = 6 - p$ より、$p(6 - p) = 13$

$6p - p^2 = 13$

$p^2 - 6p + 13 = 0$

解の公式より、$p = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(13)}}{2(1)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{6 \pm 4i}{2} = 3 \pm 2i$

$p = 3 + 2i$ のとき、$q = 6 - (3 + 2i) = 3 - 2i$

$p = 3 - 2i$ のとき、$q = 6 - (3 - 2i) = 3 + 2i$

よって、求める2数は、$3 + 2i$ と $3 - 2i$ である。

3. 最終的な答え

(2) $(x - 1 - i)(x - 1 + i)$

(3) $3 + 2i$ と $3 - 2i$