全体集合 $U$ とその部分集合 $A$, $B$ について、$n(U) = 30$, $n(A) = 18$, $n(B) = 21$ である。 (1) $n(A \cup B) = 25$ のとき、$n(A \cap B)$ を求めよ。 (2) $n(A \cap B)$ の最大値と最小値を求めよ。

## 問題8

1. 問題の内容

全体集合 $U$ とその部分集合 $A$, $B$ について、$n(U) = 30$, $n(A) = 18$, $n(B) = 21$ である。

(1) $n(A \cup B) = 25$ のとき、$n(A \cap B)$ を求めよ。

(2) $n(A \cap B)$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 集合の要素の数に関する公式 $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ を用いる。

この公式に与えられた値を代入して、$n(A \cap B)$ を求める。

(2)

* $n(A \cap B)$ の最大値: $A \cap B$ が $A$ または $B$ の小さい方に含まれるとき最大になる。つまり、$A \subset B$ または $B \subset A$ のときを考える。$n(A) = 18$, $n(B) = 21$ なので、$A \subset B$ のとき、$n(A \cap B)$ は最大値 $n(A) = 18$ をとる。

* $n(A \cap B)$ の最小値:

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ より、$n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B)$

$n(A \cup B)$ が最大のとき、$n(A \cap B)$ は最小になる。

$A \cup B$ が $U$ 全体であるとき、$n(A \cup B) = n(U) = 30$。

このとき、$n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(U) = 18 + 21 - 30 = 9$。

$n(A \cup B) > n(U)$ となることはないので、$n(A \cap B)$ の最小値は $9$。

3. 最終的な答え

(1) $n(A \cap B) = 14$

(2) 最大値: $18$, 最小値: $9$

## 問題9

1. 問題の内容

6個の数字 $0, 1, 2, 3, 4, 5$ がある。

(1) 異なる数字を選んで並べて3桁の整数をつくるとき、整数は何個できるか。

(2) 異なる数字を選んで並べて3桁の整数をつくるとき、奇数は何個できるか。

(3) 異なる数字を選んで並べて3桁の整数をつくるとき、530より大きな整数は何個できるか。

(4) 同じ数字を繰り返し用いることを許して、3桁の整数をつくるとき、整数は何個できるか。

2. 解き方の手順

(1) 3桁の整数を作る。百の位には0以外の5つの数字が入り、十の位には百の位に使った数字以外の5つの数字が入り、一の位には百の位と十の位に使った数字以外の4つの数字が入る。

したがって、$5 \times 5 \times 4$ で求められる。

(2) 奇数となるためには、一の位が1, 3, 5のいずれかである必要がある。

一の位が1, 3, 5のとき、百の位には0と一の位に使った数字以外の4つの数字が入り、十の位には百の位と一の位に使った数字以外の4つの数字が入る。

したがって、$3 \times 4 \times 4$ で求められる。

(3) 530より大きな整数を求める。

* 百の位が5のとき：十の位が3, 4, 5であれば530より大きくなる。

* 十の位が3のとき、一の位は4か5になるので、一の位の選択肢は2つ。

* 十の位が4のとき、一の位は0, 1, 2, 3から選ぶので、一の位の選択肢は4つ。

* 十の位が5のとき、一の位は0, 1, 2, 3, 4から選ぶので、一の位の選択肢は5つ。

* 百の位が4のとき：十の位は0, 1, 2, 3, 5から選べ、一の位は十の位と百の位以外の4つの数字から選べるので、$1 \times 5 \times 4=20$通り。

* 百の位が3, 2, 1のときも同様に、$3 \times 5 \times 4=60$通り。

したがって、$2 + 4 + 5 + 20 = 31$

(4) 各桁に0, 1, 2, 3, 4, 5の6つの数字から選べるが、百の位は0以外の5つの数字から選ぶ必要がある。十の位と一の位は6つの数字から選べる。

したがって、$5 \times 6 \times 6$ で求められる。

3. 最終的な答え

(1) 100個

(2) 48個

(3) 31個

(4) 180個

## 問題10

1. 問題の内容

(1) 次の式 $(a+b)(p+q+r)(x+y+z)$ を展開したとき、項は何個できるか。

(2) 108の正の約数の個数を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) $(a+b)$ から1つ、$(p+q+r)$ から1つ、$(x+y+z)$ から1つ選んで掛け合わせると、展開後の項になる。

$(a+b)$ からの選び方は2通り、$(p+q+r)$ からの選び方は3通り、$(x+y+z)$ からの選び方は3通りなので、$2 \times 3 \times 3$ で求められる。

(2) 108を素因数分解すると、$108 = 2^2 \times 3^3$。

約数の個数は、素因数の指数に1を足して掛け合わせたものになる。

したがって、$(2+1)(3+1)$ で求められる。

3. 最終的な答え

(1) 18個

(2) 12個

## 問題11

1. 問題の内容

男子A, B, C, Dと女子E, F, Gの7人がいる。

(1) 7人を一列に並べる方法は何通りあるか。

(2) 男女が交互に一列に並べる方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 7人を一列に並べる方法は、7! で求められる。

(2) 男女が交互に並ぶためには、男子4人、女子3人なので、男子が両端になる必要がある。

男子4人の並び方は 4! 通り、女子3人の並び方は 3! 通り。

したがって、$4! \times 3!$ で求められる。

3. 最終的な答え

(1) 5040通り

(2) 144通り