$a > b > 0$ のとき、不等式 $\sqrt{a-b} > \sqrt{a} - \sqrt{b}$ が成り立つことを証明します。

1. 問題の内容

$a > b > 0$ のとき、不等式 $\sqrt{a-b} > \sqrt{a} - \sqrt{b}$ が成り立つことを証明します。

2. 解き方の手順

不等式の両辺が正であることに注意し、両辺を2乗して考えます。

$(\sqrt{a-b})^2 > (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$

$a - b > a - 2\sqrt{ab} + b$

$-b > -2\sqrt{ab} + b$

$0 > 2b - 2\sqrt{ab}$

$2\sqrt{ab} > 2b$

$\sqrt{ab} > b$

両辺を2乗します。

$ab > b^2$

$ab - b^2 > 0$

$b(a-b) > 0$

仮定より、$a > b > 0$ であるので、$b > 0$ かつ $a - b > 0$ です。よって、$b(a-b) > 0$ が成り立ちます。

したがって、$\sqrt{a-b} > \sqrt{a} - \sqrt{b}$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a > b > 0$ のとき、$\sqrt{a-b} > \sqrt{a} - \sqrt{b}$ は成り立つ。