(1) 連立方程式 $ \begin{cases} ax+2y=4 \\ 2x+4y=8 \end{cases} $ の解について、$a$ の値によって解が無数にある場合と、一意に定まる場合を考える。 (2) 連立方程式 $ \begin{cases} 2x-y=2 \\ x+ay=2 \end{cases} $ が解をもたないような定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 連立方程式

$$

\begin{cases}

ax+2y=4 \\

2x+4y=8

\end{cases}

$$

の解について、$a$ の値によって解が無数にある場合と、一意に定まる場合を考える。

(2) 連立方程式

$$

\begin{cases}

2x-y=2 \\

x+ay=2

\end{cases}

$$

が解をもたないような定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、2番目の式を2で割ると、$x+2y=4$ となる。

この式と1番目の式を比較する。

$ax+2y=4$ と $x+2y=4$ が同じ直線を表すとき、解は無数に存在する。

したがって、$a=1$ のとき、解は無数にある。

$a \neq 1$ のとき、連立方程式は一意の解を持つ。

$2x+4y=8$ より $x=4-2y$

これを$ax+2y=4$ に代入すると、$a(4-2y)+2y=4$

$4a-2ay+2y=4$

$2y(1-a)=4-4a$

$2y(1-a)=4(1-a)$

$a \neq 1$ より $y = 2$

$x = 4 - 2y = 4 - 2(2) = 0$

(2)

連立方程式

$$

\begin{cases}

2x-y=2 \\

x+ay=2

\end{cases}

$$

が解をもたない条件を考える。

1つ目の式から、$y = 2x - 2$

2つ目の式に代入すると、$x+a(2x-2)=2$

$x + 2ax - 2a = 2$

$x(1+2a) = 2+2a$

$x(1+2a) = 2(1+a)$

$1+2a=0$ かつ $2(1+a) \neq 0$ のとき、解なし。

$1+2a=0$ より $a = -\frac{1}{2}$

このとき、$2(1+a) = 2(1-\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{2}) = 1 \neq 0$

したがって、$a = -\frac{1}{2}$ のとき解をもたない。

3. 最終的な答え

(1) $a=1$ のとき解は無数にあり、$a \neq 1$ のとき $x=0$, $y=2$ である。

(2) $a = -\frac{1}{2}$