2次方程式 $2x^2 - kx + k + 6 = 0$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $k = -5$ のときの解を求め、小さい方の解を $\alpha$ としたとき、$n \le \alpha < n + 1$ を満たす整数 $n$ の値を求める。 (2) (1)で求めた$n$に対して、方程式が$x=n$を解にもつとき、$k$の値を求め、もう一つの解を求める。 (3) 方程式が重解をもつような$k$の値とそのときの重解を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 - kx + k + 6 = 0$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $k = -5$ のときの解を求め、小さい方の解を $\alpha$ としたとき、$n \le \alpha < n + 1$ を満たす整数 $n$ の値を求める。

(2) (1)で求めた$n$に対して、方程式が$x=n$を解にもつとき、$k$の値を求め、もう一つの解を求める。

(3) 方程式が重解をもつような$k$の値とそのときの重解を求める。

2. 解き方の手順

(1) $k = -5$ を方程式に代入すると、

$2x^2 + 5x + 1 = 0$

解の公式より、

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 8}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{4}$

したがって、解は $x = \frac{-5 + \sqrt{17}}{4}, \frac{-5 - \sqrt{17}}{4}$ である。

小さい方の解は $\alpha = \frac{-5 - \sqrt{17}}{4}$ である。

$4 < \sqrt{17} < 5$ より、

$-5 - 5 < -5 - \sqrt{17} < -5 - 4$

$-10 < -5 - \sqrt{17} < -9$

$\frac{-10}{4} < \frac{-5 - \sqrt{17}}{4} < \frac{-9}{4}$

$-2.5 < \alpha < -2.25$

したがって、$n = -3$ である。

(2) $n = -3$ を方程式に代入すると、

$2(-3)^2 - k(-3) + k + 6 = 0$

$18 + 3k + k + 6 = 0$

$4k + 24 = 0$

$k = -6$

方程式は $2x^2 + 6x = 0$

$2x(x + 3) = 0$

$x = 0, -3$

したがって、もう一つの解は $x = 0$ である。

(3) 方程式が重解を持つとき、判別式 $D = 0$ となる。

$D = (-k)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (k + 6) = 0$

$k^2 - 8k - 48 = 0$

$(k - 12)(k + 4) = 0$

$k = 12, -4$

$k = 12$ のとき、 $2x^2 - 12x + 18 = 0$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x - 3)^2 = 0$

$x = 3$

$k = -4$ のとき、$2x^2 + 4x + 2 = 0$

$x^2 + 2x + 1 = 0$

$(x + 1)^2 = 0$

$x = -1$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{4}$, $n = -3$

(2) $k = -6$, $x = 0$

(3) $k = 12$ のとき $x = 3$, $k = -4$ のとき $x = -1$