$xy$平面において、連立不等式 $$ \begin{cases} x^2 + \frac{y^2}{3} \le 1 \\ \frac{x^2}{3} + y^2 \le 1 \end{cases} $$ の表す領域の面積を求める。

1. 問題の内容

$xy$平面において、連立不等式

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\begin{cases}

x^2 + \frac{y^2}{3} \le 1 \\

\frac{x^2}{3} + y^2 \le 1

\end{cases}

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の表す領域の面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等式の表す領域を考える。

1つ目の不等式 $x^2 + \frac{y^2}{3} \le 1$ は、楕円 $\frac{x^2}{1^2} + \frac{y^2}{(\sqrt{3})^2} = 1$ の内部（境界を含む）を表す。この楕円は、x軸方向に半径1、y軸方向に半径$\sqrt{3}$を持つ。

2つ目の不等式 $\frac{x^2}{3} + y^2 \le 1$ は、楕円 $\frac{x^2}{(\sqrt{3})^2} + \frac{y^2}{1^2} = 1$ の内部（境界を含む）を表す。この楕円は、x軸方向に半径$\sqrt{3}$、y軸方向に半径1を持つ。

連立不等式が表す領域は、これら2つの楕円の共通部分である。

2つの楕円の交点を求める。

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\begin{cases}

x^2 + \frac{y^2}{3} = 1 \\

\frac{x^2}{3} + y^2 = 1

\end{cases}

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1つ目の式から $y^2 = 3(1 - x^2)$。これを2つ目の式に代入すると、

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\frac{x^2}{3} + 3(1 - x^2) = 1 \\

x^2 + 9(1 - x^2) = 3 \\

x^2 + 9 - 9x^2 = 3 \\

-8x^2 = -6 \\

x^2 = \frac{3}{4} \\

x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}

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$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ を $y^2 = 3(1 - x^2)$ に代入すると、

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y^2 = 3(1 - \frac{3}{4}) = 3(\frac{1}{4}) = \frac{3}{4} \\

y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}

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したがって、交点は $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$ の4点である。

領域はx軸、y軸に関して対称なので、第一象限の領域を求めて4倍する。

第一象限における交点は $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ である。

$x^2 + \frac{y^2}{3} = 1$ より、 $y = \sqrt{3(1-x^2)}$

$\frac{x^2}{3} + y^2 = 1$ より、 $y = \sqrt{1 - \frac{x^2}{3}}$

求める面積は

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4\int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \left( \sqrt{3(1 - x^2)} - \sqrt{1 - \frac{x^2}{3}} \right) dx + 4\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\sqrt{3}} \sqrt{1 - \frac{x^2}{3}} dx = 2\pi

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(上記の積分計算は省略します。$\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2} \arcsin{\frac{x}{a}}$を利用して計算してください。)

3. 最終的な答え

$2\pi$