$xy$ 平面において、連立不等式 $$ \begin{cases} x^2 + \frac{y^2}{3} \leq 1 \\ \frac{x^2}{3} + y^2 \leq 1 \end{cases} $$ の表す領域の面積を求めよ。

1. 問題の内容

$xy$ 平面において、連立不等式

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\begin{cases}

x^2 + \frac{y^2}{3} \leq 1 \\

\frac{x^2}{3} + y^2 \leq 1

\end{cases}

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の表す領域の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式の表す領域を図示する。

一つ目の不等式 $x^2 + \frac{y^2}{3} \leq 1$ は、楕円 $x^2 + \frac{y^2}{3} = 1$ の内部を表す。この楕円は、x軸方向に半径1、y軸方向に半径$\sqrt{3}$を持つ。

二つ目の不等式 $\frac{x^2}{3} + y^2 \leq 1$ は、楕円 $\frac{x^2}{3} + y^2 = 1$ の内部を表す。この楕円は、x軸方向に半径$\sqrt{3}$、y軸方向に半径1を持つ。

したがって、求める領域は、これらの2つの楕円の共通部分となる。

2つの楕円の交点を求める。

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\begin{cases}

x^2 + \frac{y^2}{3} = 1 \\

\frac{x^2}{3} + y^2 = 1

\end{cases}

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一つ目の式から $y^2 = 3(1 - x^2)$。

これを二つ目の式に代入すると、

$\frac{x^2}{3} + 3(1 - x^2) = 1$

$\frac{x^2}{3} + 3 - 3x^2 = 1$

$-\frac{8}{3}x^2 = -2$

$x^2 = \frac{3}{4}$

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、

$y^2 = 3(1 - \frac{3}{4}) = 3(\frac{1}{4}) = \frac{3}{4}$

$y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

交点は$(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$。

求める面積は、第一象限の面積を4倍することで求められる。

第一象限では、$x^2 + \frac{y^2}{3} = 1$ より $y = \sqrt{3(1-x^2)}$

$\frac{x^2}{3} + y^2 = 1$ より $y = \sqrt{1-\frac{x^2}{3}}$

求める面積は、

$4 \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} (\sqrt{3(1-x^2)} - \sqrt{1-\frac{x^2}{3}}) dx$

$x = \sin \theta$ とおく。$dx = \cos \theta d\theta$

$x = 0$ のとき $\theta = 0$、$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき $\theta = \frac{\pi}{3}$

$4 \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (\sqrt{3(1-\sin^2\theta)} - \sqrt{1-\frac{\sin^2\theta}{3}}) \cos \theta d\theta$

$= 4 \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (\sqrt{3} \cos \theta - \sqrt{1-\frac{\sin^2\theta}{3}}) \cos \theta d\theta$

$S = 4 \int_{0}^{\sqrt{3}/2} (\sqrt{3(1-x^2)} - \sqrt{1-\frac{x^2}{3}}) dx$

$= 4\int_0^{\sqrt{3}/2} \sqrt{3(1-x^2)}dx - 4 \int_0^{\sqrt{3}/2} \sqrt{1 - x^2/3} dx$

ここで$x = \sin t$と置換すると、積分は $4 \sqrt{3} \int_0^{\pi/3} \cos^2 t dt = 4 \sqrt{3} \int_0^{\pi/3} \frac{1 + \cos 2t}{2} dt = 2 \sqrt{3} [t + \frac{\sin 2t}{2}]_0^{\pi/3} = 2\sqrt{3}(\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}/2}{2}) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \pi + \frac{3}{2}$

次に、$u = x / \sqrt{3}$ と置換すると、$x = \sqrt{3} u$であり、$dx = \sqrt{3}du$ である。すると、$\int_0^{\sqrt{3}/2} \sqrt{1- x^2/3}dx = \int_0^{1/2} \sqrt{1-u^2} \sqrt{3} du = \sqrt{3} \int_0^{1/2} \sqrt{1-u^2}du$.

ここで $u= \sin v$ と置くと、$\sqrt{3}\int_0^{\pi/6} \cos^2 v dv = \sqrt{3} \int_0^{\pi/6} \frac{1 + \cos 2v}{2}dv = \frac{\sqrt{3}}{2} [ v + \frac{\sin 2v}{2}]_0^{\pi/6} = \frac{\sqrt{3}}{2} [ \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}/2}{2}] = \frac{\sqrt{3}}{12} \pi + \frac{3}{8}$

$4(\frac{2 \sqrt{3}}{3} \pi + \frac{3}{4} - (\frac{\sqrt{3}}{12} \pi + \frac{3}{8})) = \frac{7 \sqrt{3} \pi}{9} + \frac{3}{2}$

$\int_{0}^{\sqrt{3}/2} \sqrt{3(1-x^2)} = \sqrt{3} \int_0^{\sqrt{3}/2} \sqrt{1 - x^2} dx = \sqrt{3} (\frac{x\sqrt{1-x^2}}{2} + \frac{1}{2}\arcsin x) |_0^{\sqrt{3}/2}$

$= \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}/2 \sqrt{1-3/4}}{2} + \frac{1}{2} \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}/2 \cdot 1/2}{2} + \frac{\pi}{6}) = \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{\pi}{6}) = \frac{3}{8} + \frac{\sqrt{3}\pi}{6}$

$\int_0^{\sqrt{3}/2} \sqrt{1 - \frac{x^2}{3}} = (\frac{x\sqrt{1 - x^2/3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \arcsin \frac{x}{\sqrt{3}})|_0^{\sqrt{3}/2} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{1 - \frac{1}{4}}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} /2 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{3}{8} + \frac{\sqrt{3} \pi}{12}$

$S = 4 ( \frac{3}{8} + \frac{\sqrt{3}\pi}{6} - \frac{3}{8} - \frac{\sqrt{3} \pi}{12}) = 4 (\frac{\sqrt{3}\pi}{12}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \pi$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{3}}{3}\pi$