3つのサイコロ（大、中、小）を投げたとき、以下の条件を満たす場合の数をそれぞれ求めます。 (1) 目の和が8になる場合 (2) 目の積が12になる場合 (3) 目の大きさが大、中、小の順に小さくなる場合

1. 問題の内容

3つのサイコロ（大、中、小）を投げたとき、以下の条件を満たす場合の数をそれぞれ求めます。

(1) 目の和が8になる場合

(2) 目の積が12になる場合

(3) 目の大きさが大、中、小の順に小さくなる場合

2. 解き方の手順

(1) 目の和が8になる場合

大、中、小のサイコロの目をそれぞれ$x, y, z$とします。

$x, y, z$ は1から6までの整数であり、$x + y + z = 8$を満たす組み合わせを考えます。

考えられる組み合わせは以下の通りです。

(2, 1, 5), (2, 2, 4), (2, 3, 3), (2, 4, 2), (2, 5, 1)

(1, 1, 6), (1, 2, 5), (1, 3, 4), (1, 4, 3), (1, 5, 2), (1, 6, 1)

(3, 1, 4), (3, 2, 3), (3, 3, 2), (3, 4, 1)

(4, 1, 3), (4, 2, 2), (4, 3, 1)

(5, 1, 2), (5, 2, 1)

(6, 1, 1)

これを整理すると、

(1, 1, 6), (1, 2, 5), (1, 3, 4), (1, 4, 3), (1, 5, 2), (1, 6, 1)

(2, 1, 5), (2, 2, 4), (2, 3, 3), (2, 4, 2), (2, 5, 1)

(3, 1, 4), (3, 2, 3), (3, 3, 2), (3, 4, 1)

(4, 1, 3), (4, 2, 2), (4, 3, 1)

(5, 1, 2), (5, 2, 1)

(6, 1, 1)

以上、全部で21通りです。

(2) 目の積が12になる場合

$x \times y \times z = 12$ を満たす組み合わせを考えます。

考えられる組み合わせは以下の通りです。

(1, 2, 6), (1, 3, 4), (1, 4, 3), (1, 6, 2)

(2, 1, 6), (2, 2, 3), (2, 3, 2), (2, 6, 1)

(3, 1, 4), (3, 2, 2), (3, 4, 1)

(4, 1, 3), (4, 3, 1), (4, 1, 3)

(6, 1, 2), (6, 2, 1)

これを整理すると、

(1, 2, 6), (1, 3, 4), (1, 4, 3), (1, 6, 2)

(2, 1, 6), (2, 2, 3), (2, 3, 2), (2, 6, 1)

(3, 1, 4), (3, 2, 2), (3, 4, 1)

(4, 1, 3), (4, 3, 1)

(6, 1, 2), (6, 2, 1)

これらは大中小の区別をしない並び方なので、並び替えを考慮すると、

(1, 2, 6) -> (1, 2, 6), (1, 6, 2), (2, 1, 6), (2, 6, 1), (6, 1, 2), (6, 2, 1)

(1, 3, 4) -> (1, 3, 4), (1, 4, 3), (3, 1, 4), (3, 4, 1), (4, 1, 3), (4, 3, 1)

(2, 2, 3) -> (2, 2, 3), (2, 3, 2), (3, 2, 2)

よって、6 + 6 + 3 = 15通りです。

(3) 目の大きさが大、中、小の順に小さくなる場合

$x > y > z$ を満たす組み合わせを考えます。

$x, y, z$ は1から6までの整数です。

(6, 5, 1), (6, 5, 2), (6, 5, 3), (6, 5, 4)

(6, 4, 1), (6, 4, 2), (6, 4, 3)

(6, 3, 1), (6, 3, 2)

(6, 2, 1)

(5, 4, 1), (5, 4, 2), (5, 4, 3)

(5, 3, 1), (5, 3, 2)

(5, 2, 1)

(4, 3, 1), (4, 3, 2)

(4, 2, 1)

(3, 2, 1)

よって、4 + 3 + 2 + 1 + 3 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 = 20通りです。

3. 最終的な答え

(1) 21通り

(2) 15通り

(3) 20通り