ある新聞社が内閣の支持率を調べるために、全国の有権者から無作為に1000人を抽出する世論調査を企画している。全体の内閣支持率が0.3であるとき、標本の内閣支持率$P$の平均、分散を求め、$P \ge 0.33$となる確率を小数第4位まで求める。

1. 問題の内容

ある新聞社が内閣の支持率を調べるために、全国の有権者から無作為に1000人を抽出する世論調査を企画している。全体の内閣支持率が0.3であるとき、標本の内閣支持率$P$の平均、分散を求め、$P \ge 0.33$となる確率を小数第4位まで求める。

2. 解き方の手順

(1) 標本支持率$P$の平均は、母集団の支持率と等しいので0.3である。

(2) 標本支持率$P$の分散を計算する。母集団の支持率を$p$、標本サイズを$n$とすると、標本支持率の分散は

$\frac{p(1-p)}{n}$

で与えられる。この問題では、$p=0.3$、$n=1000$なので、分散は

$\frac{0.3(1-0.3)}{1000} = \frac{0.3 \times 0.7}{1000} = \frac{0.21}{1000} = 0.00021$

となる。

(3) 標本支持率$P$が$P \ge 0.33$となる確率を計算する。$P$は平均0.3、分散0.00021の正規分布に従うので、標準化された変数$Z = \frac{P - 0.3}{\sqrt{0.00021}}$は標準正規分布$N(0,1)$に従う。

$P \ge 0.33$に対応する$Z$の値は、

$Z = \frac{0.33 - 0.3}{\sqrt{0.00021}} = \frac{0.03}{\sqrt{0.00021}} \approx \frac{0.03}{0.01449} \approx 2.07$

$P(P \ge 0.33) = P(Z \ge 2.07) = 1 - P(Z < 2.07)$

標準正規分布表から、$P(Z < 2.07) \approx 0.9808$なので、

$P(P \ge 0.33) \approx 1 - 0.9808 = 0.0192$

3. 最終的な答え

平均: 0.3

分散: 0.00021

確率: 0.0192