赤球と白球が合わせて8個入った袋から、2個の球を同時に取り出す。取り出した球が2個とも白球である確率が $\frac{5}{14}$ であるとき、袋の中に入っている白球の数を求める。

1. 問題の内容

赤球と白球が合わせて8個入った袋から、2個の球を同時に取り出す。取り出した球が2個とも白球である確率が $\frac{5}{14}$ であるとき、袋の中に入っている白球の数を求める。

2. 解き方の手順

白球の数を $x$ とすると、赤球の数は $8-x$ となる。

2個の球を同時に取り出す組み合わせの総数は ${}_8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ である。

2個とも白球を取り出す組み合わせの数は ${}_xC_2 = \frac{x(x-1)}{2}$ である。

したがって、2個とも白球を取り出す確率は $\frac{{}_xC_2}{{}_8C_2} = \frac{x(x-1)/2}{28} = \frac{x(x-1)}{56}$ である。

問題文より、この確率が $\frac{5}{14}$ に等しいので、

$\frac{x(x-1)}{56} = \frac{5}{14}$

$x(x-1) = \frac{5}{14} \times 56$

$x(x-1) = 5 \times 4$

$x(x-1) = 20$

$x^2 - x - 20 = 0$

$(x-5)(x+4) = 0$

$x = 5$ または $x = -4$

球の数は負になることはないので、$x = 5$ である。

3. 最終的な答え

5個