A, B, C, D の4人でじゃんけんをする。負けた人は次回以降のじゃんけんに参加できないものとし、何回かのじゃんけんの後で1人だけ残った人を勝者とする。 (1) 1回目のじゃんけんでAが勝者となる確率を求めよ。 (2) 2回目のじゃんけんでAが勝者となる確率を求めよ。

1. 問題の内容

A, B, C, D の4人でじゃんけんをする。負けた人は次回以降のじゃんけんに参加できないものとし、何回かのじゃんけんの後で1人だけ残った人を勝者とする。

(1) 1回目のじゃんけんでAが勝者となる確率を求めよ。

(2) 2回目のじゃんけんでAが勝者となる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 1回目のじゃんけんでAが勝者となる確率

Aが1回目のじゃんけんで勝者になるのは、Aだけが勝つ場合である。

4人全員が同じ手を出す場合はあいこになるので、A以外の3人がAの出す手に負ける手を出す必要がある。

手の出し方の総数は、各人がグー、チョキ、パーのいずれかを出すので、$3^4 = 81$ 通り。

Aがグーで勝つ場合、B, C, D はチョキを出す必要があるので、その確率は1通り。

同様に、Aがチョキで勝つ場合、B, C, D はパーを出す必要があり、その確率は1通り。

Aがパーで勝つ場合、B, C, D はグーを出す必要があり、その確率は1通り。

したがって、Aが1回目のじゃんけんで勝者となるのは3通り。

よって、求める確率は $3/81 = 1/27$。

(2) 2回目のじゃんけんでAが勝者となる確率

2回目のじゃんけんでAが勝者となるのは、1回目のじゃんけんでA以外の1人が負け、2回目のじゃんけんでAが残りの1人に勝つ場合である。

1回目のじゃんけんであいこになる場合も考慮する必要がある。

1回目のじゃんけんで1人だけが負ける場合：

4人の中から負ける1人を選ぶ方法は ${}_4C_1 = 4$ 通り。

1人が負ける手の出し方は3通り(グー、チョキ、パー)。

負ける人がグーを出したなら、他の3人はパーを出す必要がある。同様に負ける人がチョキを出したら、他の3人はグー、パーを出したらチョキを出す必要がある。

この時の手の出し方は、$3 \times 3 = 9$ 通り。ただし、全員が同じ手を出す場合はあいこになるので、これを除くと6通り。あいこになるのは3通り。

したがって、1回目のじゃんけんで1人だけが負ける確率は、

$\frac{{}_4C_1 \times 6}{81} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$。

2回目のじゃんけんでAが勝つ確率は、$1/3$。

したがって、この場合の確率は $\frac{8}{27} \times \frac{1}{3} = \frac{8}{81}$。

1回目のじゃんけんで2人が負ける場合：

1回目のじゃんけんであいこになり、2人が残り、2回目のじゃんけんでAが勝つ場合

まず、あいこになるのは、全員が同じ手を出すか、または2種類の手が出る場合。

2種類の手が出る場合、例えばグーとチョキが出ると、AとBがグー、CとDがチョキを出す場合などがある。

2種類の組分けは ${}_4C_2 = 6$ 通り。2種類の手の組み合わせは ${}_3C_2 = 3$ 通り。

各組がどの手を出すかは決まっているので、1回目のじゃんけんであいこになる確率は $\frac{6 \times 3}{81} = \frac{18}{81} = \frac{2}{9}$。

2回目のじゃんけんでAが勝つ確率は $1/3$ なので、$\frac{2}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{27}$。

1回目のじゃんけんで3人が負ける場合：

これはありえない。なぜなら1人だけ残ったらその人が勝者だから。

合計すると、求める確率は $\frac{8}{81} + \frac{2}{27} = \frac{8}{81} + \frac{6}{81} = \frac{14}{81}$。

3. 最終的な答え

(1) 1回目のじゃんけんでAが勝者となる確率は $1/27$。

(2) 2回目のじゃんけんでAが勝者となる確率は $14/81$。