原点にある点Pが、サイコロを投げるごとに以下の規則で移動する。 - 1または2の目が出たとき、x軸方向に+1移動 - 3または4の目が出たとき、y軸方向に+1移動 - 5の目が出たとき、x軸方向に+1、y軸方向に+1移動 - 6の目が出たとき、移動しない (1) サイコロを2回投げた後、点Pが(2,2)にいる確率を求める。 (2) サイコロを4回投げた後、点Pが(2,2)にいる確率を求める。

1. 問題の内容

原点にある点Pが、サイコロを投げるごとに以下の規則で移動する。

- 1または2の目が出たとき、x軸方向に+1移動

- 3または4の目が出たとき、y軸方向に+1移動

- 5の目が出たとき、x軸方向に+1、y軸方向に+1移動

- 6の目が出たとき、移動しない

(1) サイコロを2回投げた後、点Pが(2,2)にいる確率を求める。

(2) サイコロを4回投げた後、点Pが(2,2)にいる確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2回サイコロを投げて(2,2)に到達するパターンを考える。

サイコロの目の出方は全部で $6 \times 6 = 36$ 通りである。

* 5が2回出る場合：(1,1) + (1,1) = (2,2)　確率 = $1/6 \times 1/6 = 1/36$

* x方向に+1される目がa回、y方向に+1される目がb回、5の目以外が出なかった回数がc回とすると、

$a \times 1 + 0 \times b + 1 \times c=2$

$0 \times a + 1 \times b + 1 \times c=2$

-x方向に+1される目が2回、y方向に+1される目が2回の場合：（1,2）が2回、（2,1）が2回の場合、

確率は、$(\frac{2}{6})^2 \times (\frac{2}{6})^2$ではない。なぜなら5の目が出るパターンも考える必要があるからである。

まずサイコロの目の出方の組み合わせで場合分けする。

- 5の目が1回、1か2の目が1回：(5,1or2), (1or2,5) よって、$(\frac{1}{6} \times \frac{2}{6}) \times 2 = \frac{4}{36}$

- 3か4の目が1回、1か2の目が1回：ない（x方向とy方向が１ずつで到達不可能）

- 1か2の目が2回、3か4の目が2回：ない（合計４回サイコロを振る必要がある）

(2) 4回サイコロを投げて(2,2)に到達するパターンを考える。

サイコロの目の出方は全部で $6 \times 6 \times 6 \times 6 = 1296$ 通りである。

- 5の目が2回、6の目が2回：${4 \choose 2} \times (\frac{1}{6})^2 \times (\frac{1}{6})^2 = 6 \times (\frac{1}{36})^2 = \frac{6}{1296} = \frac{1}{216}$

- 5の目が1回、1か2の目が1回、3か4の目が1回、6の目が1回： ${4 \choose 1}{3 \choose 1}{2 \choose 1}{1 \choose 1} \times (\frac{1}{6})^1 \times (\frac{2}{6})^1 \times (\frac{2}{6})^1 \times (\frac{1}{6})^1 = 24 \times \frac{4}{1296} = \frac{96}{1296} = \frac{2}{27}$

- 1か2の目が2回、3か4の目が2回: ${4 \choose 2} \times (\frac{2}{6})^2 \times (\frac{2}{6})^2 = 6 \times \frac{16}{1296} = \frac{96}{1296} = \frac{2}{27}$

したがって、合計の確率は、$\frac{1}{216} + \frac{96}{1296} + \frac{96}{1296} = \frac{1}{216} + \frac{192}{1296} = \frac{6 + 192}{1296} = \frac{198}{1296} = \frac{11}{72}$

3. 最終的な答え

(1) さいころを2回投げた後、点Pが点 (2,2)にある確率: $\frac{1}{36}$ + $\frac{4}{36}$ = $\frac{5}{36}$

(2) さいころを4回投げた後、点Pが点 (2,2)にある確率: $\frac{11}{72}$