男子5人(A, B, C, D, E)と女子3人(F, G, H)の計8人が円形のテーブルに着席する。 (1) 女子の両隣には必ず男子が座るような座り方は何通りあるか。 (2) FとGの間に男子1人が座るような座り方は何通りあるか。

1. 問題の内容

男子5人(A, B, C, D, E)と女子3人(F, G, H)の計8人が円形のテーブルに着席する。

(1) 女子の両隣には必ず男子が座るような座り方は何通りあるか。

(2) FとGの間に男子1人が座るような座り方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1)

まず、男子5人を円形テーブルに並べる。円順列なので、(5-1)! = 4! 通り。

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

次に、女子3人の席を男子5人の間に決める。女子の両隣は必ず男子なので、男子の間の5つの席から3つを選ぶ。これは順列なので、5P3 通り。

$5P3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$

最後に、女子3人の並び方を考える。これは3! 通り。

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

したがって、合計の座り方は、

$4! \times 5P3 \times 3! = 24 \times 60 \times 6 = 8640$ 通り。

(2)

まず、FとGとその間に座る男子1人を一つのグループとして考える。その男子の選び方は5通り。FとGの並び方は2通り(F-男子-G, G-男子-F)。

残りの席は5つ。残りの男子4人と女子1人の計5人を並べる。

グループ(F-男子-G), 男子4人, 女子1人の計6つを円形に並べるので、(6-1)! = 5! 通り。

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

したがって、合計の座り方は、

$5 \times 2 \times 5! = 5 \times 2 \times 120 = 1200$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 8640通り

(2) 1200通り