ある工場で生産される製品Aから100個の無作為標本を抽出し、耐久時間を調べたところ、平均値は1470時間、標準偏差は200時間であった。このとき、母集団である製品Aの平均耐久時間μの95%信頼区間を求めよ。

1. 問題の内容

ある工場で生産される製品Aから100個の無作為標本を抽出し、耐久時間を調べたところ、平均値は1470時間、標準偏差は200時間であった。このとき、母集団である製品Aの平均耐久時間μの95%信頼区間を求めよ。

2. 解き方の手順

母平均の信頼区間を求める問題です。母分散が既知であるため、正規分布を用いた信頼区間を計算します。

(1) 信頼区間の公式を確認する。

母平均μの信頼度$(1 - \alpha)$の信頼区間は、標本平均を$\bar{x}$、母標準偏差をσ、標本サイズをnとしたとき、以下のように表されます。

$\bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

ここで、$z_{\alpha/2}$は標準正規分布の上側$\alpha/2$パーセント点です。

(2) 問題文から必要な情報を抽出する。

標本平均$\bar{x}$ = 1470時間

母標準偏差$\sigma$ = 200時間

標本サイズn = 100

信頼度 = 95% = 0.95

$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$

$\alpha/2 = 0.025$

(3) $z_{\alpha/2}$の値を求める。

信頼度95%に対応する$z_{0.025}$の値は1.96です。

(4) 信頼区間の下限と上限を計算する。

信頼区間の下限は、

$1470 - 1.96 \times \frac{200}{\sqrt{100}} = 1470 - 1.96 \times \frac{200}{10} = 1470 - 1.96 \times 20 = 1470 - 39.2 = 1430.8$

信頼区間の上限は、

$1470 + 1.96 \times \frac{200}{\sqrt{100}} = 1470 + 1.96 \times \frac{200}{10} = 1470 + 1.96 \times 20 = 1470 + 39.2 = 1509.2$

(5) 問題文の指示に従い、小数第1位を四捨五入する。

信頼区間の下限：1430.8 → 1431

信頼区間の上限：1509.2 → 1509

3. 最終的な答え

(a) 1431

(b) 1509