ある県で模擬試験を受けた50人の生徒の平均点が63点、標準偏差が11点であった。この模擬試験の全国平均は60点である。この県の生徒の平均点が全国平均より大きいかどうかを検定する。 (a) 有意水準5%で帰無仮説（この県の生徒の平均点は60点である）が棄却されるか否かを答える。 (b) 50人が受けた模擬試験の平均点が何点以上であれば、帰無仮説が棄却されるかを小数点第3位を四捨五入して答える。ただし、50人が受けた模擬試験の標準偏差は11点のままとする。

1. 問題の内容

ある県で模擬試験を受けた50人の生徒の平均点が63点、標準偏差が11点であった。この模擬試験の全国平均は60点である。この県の生徒の平均点が全国平均より大きいかどうかを検定する。

(a) 有意水準5%で帰無仮説（この県の生徒の平均点は60点である）が棄却されるか否かを答える。

(b) 50人が受けた模擬試験の平均点が何点以上であれば、帰無仮説が棄却されるかを小数点第3位を四捨五入して答える。ただし、50人が受けた模擬試験の標準偏差は11点のままとする。

2. 解き方の手順

(a) 有意水準5%で帰無仮説が棄却されるかどうかの検定を行う。

まず、検定統計量 $z$ を計算する。

$z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

ここで、$\bar{x}$は標本平均（63点）、$\mu$は帰無仮説の平均（60点）、$\sigma$は標本標準偏差（11点）、$n$は標本サイズ（50）である。

$z = \frac{63 - 60}{11 / \sqrt{50}} = \frac{3}{11 / \sqrt{50}} \approx \frac{3}{1.5556} \approx 1.928$

片側検定であるため、有意水準5%に対応する$z$値は1.645である。

計算した$z$値(1.928)は、有意水準に対応する$z$値(1.645)よりも大きいため、帰無仮説は棄却される。

(b) 帰無仮説が棄却される平均点を求める。

有意水準5%で帰無仮説を棄却するための標本平均を$\bar{x}$とする。

$\frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} > 1.645$

$\bar{x} - 60 > 1.645 \times \frac{11}{\sqrt{50}}$

$\bar{x} > 60 + 1.645 \times \frac{11}{\sqrt{50}}$

$\bar{x} > 60 + 1.645 \times 1.5556$

$\bar{x} > 60 + 2.5589$

$\bar{x} > 62.5589$

小数点第3位を四捨五入すると、$\bar{x} > 62.56$となる。

3. 最終的な答え

(a) 棄却される

(b) 62.56点