2枚のコインA, Bがある。コインAは表が出る確率が $1/2$ の公平なコインだが、コインBは表が出る確率が不明な歪んだコインである。2つのコインを同時に140回投げたとき、表が出た枚数X（0, 1, 2のいずれか）の出現回数が与えられている。コインBの表が出る確率を最尤推定により求める。

1. 問題の内容

2枚のコインA, Bがある。コインAは表が出る確率が $1/2$ の公平なコインだが、コインBは表が出る確率が不明な歪んだコインである。2つのコインを同時に140回投げたとき、表が出た枚数X（0, 1, 2のいずれか）の出現回数が与えられている。コインBの表が出る確率を最尤推定により求める。

2. 解き方の手順

コインBの表が出る確率を $p$ とする。

X = 0, 1, 2となる確率をそれぞれ計算する。

X=0となる確率：コインAが裏で、コインBが裏の場合。

$P(X=0) = (1/2)(1-p)$

X=1となる確率：コインAが表でコインBが裏の場合、またはコインAが裏でコインBが表の場合。

$P(X=1) = (1/2)(1-p) + (1/2)p = (1/2)(1-p+p) = 1/2$

X=2となる確率：コインAが表で、コインBが表の場合。

$P(X=2) = (1/2)p$

尤度関数Lを定義する。

$L(p) = P(X=0)^{42} P(X=1)^{70} P(X=2)^{28} = [(1/2)(1-p)]^{42} (1/2)^{70} [(1/2)p]^{28}$

対数尤度関数を求める。

$log L(p) = 42log[(1/2)(1-p)] + 70log(1/2) + 28log[(1/2)p]$

$= 42[log(1/2) + log(1-p)] + 70log(1/2) + 28[log(1/2) + log(p)]$

$= 42log(1/2) + 42log(1-p) + 70log(1/2) + 28log(1/2) + 28log(p)$

$= 140log(1/2) + 42log(1-p) + 28log(p)$

$log L(p)$を $p$ で微分する。

$\frac{d}{dp}log L(p) = 0 + 42\frac{-1}{1-p} + 28\frac{1}{p} = \frac{-42}{1-p} + \frac{28}{p}$

微分した関数が0になる$p$を求める。

$\frac{-42}{1-p} + \frac{28}{p} = 0$

$\frac{28}{p} = \frac{42}{1-p}$

$28(1-p) = 42p$

$28 - 28p = 42p$

$28 = 70p$

$p = \frac{28}{70} = \frac{2}{5} = 0.4$

小数第3位を四捨五入する指示があるため、0.400と考える。

3. 最終的な答え

0. 40